Интересные факты о геометрии — Детский Портал Знаний
1. Основоположником современной геометрии считается древнегреческий учёный Евклид, живший в III веке до н. э. Поэтому “классическая” геометрия и называется евклидовой.
2. Евклид доказал 465 геометрических теорем, больше, чем кто-либо ещё в истории.
3. В Древней Греции понятия “геометрия” и “математика” были тождественны.
4. Помимо евклидовой геометрии, ещё существуют геометрии Римана и Лобачевского.
5. В геометрии Евклида сумма углов треугольника равна 180 градусам, в геометрии Римана она всегда больше этого числа, а в геометрии Лобачевского – меньше.
6. В Древнем Египте основы геометрии были известны ещё около 4-5 тысяч лет назад. Они активно применялись при строительстве.
7. С помощью геометрических формул можно легко вычислить объём пирамиды. Что интересно, формула для вычисления объёма полной пирамиды появилась позже, чем формула для усечённой.
8.
Одна из геометрических теорем называется теоремой Наполеона. В его честь также названа одна геометрическая задача и две замечательные точки треугольника.
9. Если сделать на любой верёвке двенадцать узлов, отделённых друг от друга одинаковым расстоянием, и растянуть эту верёвку в форме треугольника, в итоге мы получим прямой угол. Эту простейшую формулу знали ещё тысячи лет назад в Древнем Египте, и пользовались ей при строительных работах.
10. Древнегреческий учёный Архимед первым создал формулы для вычисления объёма вписанных в цилиндр шара и конуса.
11. Одна из теорем Пифагору называлась «ослиный мост» (Dons asinorum). Её легко запомнить, но не так-то просто понять, и тех учеников, которые её просто зубрили на память, Пифагор называл ослами.
12. Треугольник Рело — это геометрическая фигура, образованная пересечением трёх равных кругов радиуса «А» с центрами в вершинах равностороннего треугольника со стороной «А». Сверло, сделанное на основе треугольника Рело, позволяет сверлить квадратные отверстия, правда, с 2% погрешностью.
13. Евклидова геометрия отличается от геометрии Лобачевского в том числе и тем, что в последней можно провести не менее двух не пересекающихся прямых, лежащих в той же плоскости, через любую точку, не лежащую на этой прямой.
14. Основы фрактальной геометрии заложил ещё Леонардо да Винчи, известный учёный и деятель искусства Эпохи Возрождения.
15. Различные виды неевклидовых геометрий применяются в основном в астрономии, астрофизике и других науках, имеющих весьма опосредованное отношение к повседневной жизни.
16. Круг имеет наибольшую площадь среди всех геометрических фигур с одинаковой длиной периметра.
17. Над входом в школу Платона, знаменитого древнегреческого мудреца, учёного и философа, было написано “Да не войдёт сюда тот, кто не знает геометрии”.
18. Пифагору принадлежит учение о средних геометрических.
19. Трапеция — одна из геометрических фигур. Но слово это произошло от древнегреческого «трапезион», что в переводе означает «столик».
А слово «конос», от которого произошло наше «конус», означало «сосновая шишка».
20. Среди всех геометрических форм с одинаковым периметром, круг имеет наибольшую площадь и, наоборот, среди всех фигур с одинаковой площадью круг имеет наименьший периметр.
21. При помощи геометрических правил и предположения о том, что наша земля шарообразна, древнегреческий ученый Эратосфен измерил длину её окружности. Как показали измерения современных учёных, он практически не ошибся в своих расчётах, погрешность составляла лишь доли процента.
22. Существуют и другие виды неевклидовых геометрий. Они не применяются в повседневной жизни, но помогают решить множество вопросов в других науках, например, в астрономии.
23. Первым создавать описания пространства на языке чисел начал в 17-м веке француз Рене Декарт. Он же применил систему координат (её знал ещё Птолемей во 2-м веке) не только к картам, а ко всем фигурам на плоскости и создал описывающие простые фигуры уравнения.
Открытия Декарта в геометрии позволили ему сделать ряд открытий и в физике.
24. В честь этой науки назван астероид (376) Geometria, открытый астрономами в 1893 году.
25. Число возможных геометрических фигур бесконечно, но «именных» среди них ограниченное количество. Например, бакминстерфуллерен состоит из 20 шестиугольников и 12 пятиугольников.
31.05.2022
Факты об угле | Интересные факты
Главная » Факты об угле
04.01.2020 в 21:33
Неоценимый вклад в развитие этой науки сделали древнегреческие учёные Евклид и Пифагор. Открытые ими принципы и сейчас являются базой для неё. Поэтому, собственно, классическая геометрия и называется евклидовой.Вышеупомянутый Евклид сам доказал 465 геометрических теорем.С помощью геометрических формул можно легко вычислить объём пирамиды. Что интересно, формула для вычисления объёма полной пирамиды появилась позже, чем формула для усечённой.
02.01.2020 в 08:19
Интересные факты о геометрии.Слово «трапеция» произошло от древнегреческого слова «трапезион»(обозначает столик). также от данного слова произошли уже немногоподзабытые в обиходе слова, такие как «трапеза» и прочие родственныеему слова.Математика для древних греков была, прежде всего, геометрией.Поэтому над двери Академии, в стенах которой Платон учил своих учеников, висела надпись: «Пусть сюда не входит тот, кто не знает геометрии».Греческое слово «конос», обозначающее сосновую шишку, является словарной основой для такого термина как «конус», а известный в геометрии термин «линия» возник уже от латинского слова «линум» (что в переводе на русский язык означает «льняная нить»).Пирог разрезается всего тремя касаниями ножа на восемь равных долей.
13.02.
2023 в 07:31
Какие слова невозможно услышать из уст Ее Величества, принца Уильяма, герцогини Кэрин, Чарльза, Камиллы и остальных членов британской королевской семьи? Удивительно, но некоторым общеупотребительным английским выражениям просто нет места в придворной среде.
Социальный антрополог Кейт Фокс в своей книге 2004 года «Наблюдая за английским: скрытые правила английского поведения» составила список словесных правил, применяемых при общении с Виндзорами и другими представителями высшего общества. Эти 15 слов вошли в список запрещенных при дворе.
«Шикарный» («posh»)
Георг VI с его женой Елизаветой и дочерями, принцессами Елизаветой и Маргарет, в гостиной Виндзорского замка, 11 апреля 1942
08.02.2023 в 21:35
В Китае люди молоко практически не пьют, так как организм большинства китайцев его не усваивает.
05.02.2023 в 22:02
Деловой этикет представляет собой определенный стиль поведения людей в служебных отношениях.
Его историю возникновения можно проследить со времен Древней Греции. Во время переговоров послы того времени должны были держать «жезл Гермеса». Он служил напоминанием о том, как нужно себя вести во время дипломатической миссии. К примеру, было строго запрещено перебивать собеседника и обсуждать с ним других людей.
Римская империя всегда встречала заграничных гостей шумными торжествами, а при прощании послам дарили подарки . Была даже учреждена отдельная должность по приему иностранных дипломатов. При этом, Рим опасался отправлять свою делегацию из одного человека, а если предстояло морское путешествие, дипломатов сопровождало несколько кораблей.
12.12.2022 в 22:49
1. Банан — это ягода. Банановое растение — крупнейшее растение, не имеющее твердого ствола. Стебель банановой травы иногда достигает 10 метров в высоту, и 40 сантиметров в диаметре. На одном таком стебельке висит как правило по 300 плодов общим весом 500 кг.
2. Бананы бывают не только желтые, но и красные.
У красных более нежная мякоть, и перевозку они не переносят. Сейшельский остров МАО – единственное место в мире, где растут золотые, красные и черные бананы. Местные жители их, конечно, едят: это гарнир, который подают к омарам и моллюскам.
08.12.2022 в 21:46
История этого праздника начинается у истоков зарождения жизни, но достаточное внимание дню рождения стали уделять многим позже.
Версий возникновения самого праздника множество, но доподлинно неизвестно, что же послужило причиной такой увлеченности людей по всему миру и желанию отмечать этот день. Первые факты празднования дня рождения появились еще в Древнем Египте , но тогда он был посвящен только фараонам и отличался массовыми гуляниями, кормлением бедных, а некоторых заключенных даже выпускали из тюрем.
08.12.2022 в 08:49
82
2
Традиция отмечать день рождения возникла не так давно.
04.12.2022 в 18:07
76
2
Традиция отмечать день рождения возникла не так давно. Ранее людям и в голову не приходило, чтобы отмечать этот день, делать из него праздник. Первые упоминания празднования относятся примерно к 3000 году до н.э. Но он касался только людей выдающихся — фараонов и царей, а также их наследников мужского пола.
29.11.2022 в 18:43
Есть несколько трактовок возникновения праздника и все они по-своему интересны. Так, считают, что традиция Дня рождения появилась в языческие времена. По легенде на именинника имеют сильное влияние темные духи, которых следует опасаться.
Чтобы избежать с ними встречи, человек должен был весь день находиться в кругу близких друзей. В те времена христианство было категорически против торжеств в честь Дня рождения. Обыденная жизнь не предназначалась для счастья, считалось, что только после смерти начинается блаженство.
25.11.2022 в 17:21
Пока поглощал банан, зачем-то, нагуглил несколько интересностей о нем.
Вот вам немного:
1. Банановая пальма — это трава, а не дерево.
2. Этот факт также связан с распространенным заблуждением и вытекает из предыдущего — банан это ягода, а не фрукт.
3. Известно более тысячи видов бананов. Среди них есть пригодные для пищи человека, кормовые для скота и несъедобные. В 1992-1995 годах Россия была завалена кормовыми бананами. Африканцы, учившиеся в России в то время, недоумевали почему люди их покупают и едят, а жители России недоумевали – почему везде пишут, что бананы вкусные?
22.11.2022 в 21:38
Вся наша планета переполнена явлениями и событиями – словом, информацией, которая продолжает удивлять нас изо дня в день. В некоторые из них сложно поверить, но факты есть факты.
Бананы являются самым привычным из экзотических фруктов, поэтому они присутствуют в рационе практически каждого человека.
Однако не все знают о том, какие удивительные секреты хранит данный продукт питания.
1. Ботаники считают банан не фруктом, а ягодой.
Само растение банана является травой, высота его стебля достигает 10-12 метров. На одном растении обычно растет только одна гроздь бананов. Снимают бананы зелеными, и дозревание происходит в искусственных условиях. Зеленые бананы быстро дозреют в бумажном пакете, особенно рядом с яблоками. В холодильнике бананы чернеют и быстро портятся.
22.11.2022 в 08:47
Бананы-мои самые любимые ягоды и я хочу поделиться фактами, которые знаю про них.
Факты:
1 факт
Бананы содержат в общей сложности 89 калорий на 100 граммов .
2 факт
Банан – четвертый по популярности сельскохозяйственный продукт, выращиваемый в мире.
3 факт
Здоровый фрукт для завтрака, банан, назван так потому, что происходит от слова «банан», которое в переводе с арабского означает «палец». Один банан, несколько напоминающий форму человеческого пальца, называется пальцем и присоединяется к группе других бананов, называемой «рукой».
4 факт
На каждом стебле получается от 9 до 12 рук (рядов бананов).
И каждая рука вырастает от 14 до 20 пальцев (или отдельных бананов).
5 факт
07.11.2022 в 21:19
10 место:
Во-первых, кроме привычных нам продолговатых и слегка выгнутых бананов существует еще 40 с лишним видов этих плодов. Некоторые из них похожи на обычные бананы разве что цветом. Они бывают маленькими и совершенно прямыми как палки, а бывают почти круглыми как дыни. Древние египтяне выращивали все известные виды бананов, и в Фивах, в качестве назидания потомкам, оставили на стенах подробные инструкции по банановодству.
9 место:
В Египте верили в целительную силу бананов, а в Азии бананы вообще долго считались священными. Некоторые индийские пагоды до сих пор имеют крыши в форме бананов.
19.10.2022 в 21:09
Бамбук является наиболее быстрорастущим растением на планете. Типичный бамбук вырастает на целых 10 см всего за один день. Более того, определенные его разновидности могут вырастать до метра в день, то есть приблизительно на 1 мм за 2 минуты.
Учеными был зафиксирован следующий рекорд: стебель одного из сортов бамбука за сутки наблюдений вырос на 120 см! Удивительно, не правда ли?
1) Бамбук является вечнозеленым растением, которое может достигать просто невероятных размеров. Некоторые виды бамбука могут вырастать до 38 метров в высоту.
27.09.2022 в 00:46
Что посмотреть в Армении: описание, фото, как добраться, адреса, gps-координаты, метки на карте.
Армения — самая гостеприимная страна Закавказья (да простят меня грузины, но это так), к тому же она является настоящей сокровищницей достопримечательностей — как природных, так и рукотворных. Несколько тысячелетий страна была перекрестком культур и могущественных империй — Ассирии, Вавилона, Древнего Рима, Персии и исламских халифатов.
25.09.2022 в 04:41
Водопад Виктория в Африке образовался в месте, где река Замбези впадает в расщелину шириной 120 метров, вырезанную водой в разломе земной коры. Множество островков делят водопад, формируя протоки.
Со временем водопад отступал вверх по течению, создавая себе новые расщелины. Эти расщелины сейчас образуют зигзагообразное русло реки с отвесными стенами.
Водопад Виктория был открыт 17 ноября 1855 года во время путешествия исследователя и миссионера из Шотландии Ливингстона от верховьев Замбези к устью реки Замбези.
Зигзагообразное русло реки, © Nomad
22.09.2022 в 16:25
Чувство восхищения вызывает не только сам каскад воды, падающей с высоты 120-ти м, то разделяясь на множество отдельных струй, то сходящихся в единый шлейф, похожий на монолитную стену, но и сток бурлящей воды по узкому ущелью, которое в 13 раз уже, чем река Замбези, падающая со скал. Несущийся вниз поток шириною 1 800 м, с ревом устремляется в узкий проход, чья ширина составляет всего 140 м в самом широком месте своего жерла. Дальше горловина ущелья сжимается до 100 м и вода с шумом устремляется в эту расщелину, отплевываясь тучами мельчайших брызг, которые висят в воздухе и вздымаются от ударов на много сотен метров над сплошной стеной гигантского потока, падающего с высоты.
19.09.2022 в 21:18
Доступ к знаменитому водопаду имеют две страны, Зимбабве и Замбия, но большая часть туристов прибывает через последнюю, так как в Зимбабве туристическая инфраструктура развита ещё хуже.При высоте в 120 метров, что не очень много, водопад Виктория является единственным в мире, имеющим высоту более 100 метров при ширине более километра ( интересные факты о водопадах ).Первым европейцем, увидевшим водопад Виктория своими глазами, был первопроходец Дэвид Ливингстон, добравшийся до него со своей экспедицией в середине 19-го века.В ширину водопад Виктория достигает 1,8 километра.В его окрестностях практически невозможно разговаривать, потому что рёв падающей воды заглушает все звуки.На краю пропасти, в которую падает водопад, он разделён на 4
19.09.2022 в 09:02
Ученый, открывший для себя и для всего остального мира всю неповторимую красоту низвергающегося со скал потока прозрачной воды реки Замбези 17 ноября 1855 года, был попросту ошеломлен.
– Это же пыль с крыльев ангелов! – прошептал он. И добавил, как истинный британец, – Боже, храни королеву! Так этот водяной каскад получил свое английское имя – водопад Виктория.
Позже Ливингстон напишет в своих дневниках: «Это единственное английское название, которое я когда-либо дал какой-нибудь части Африканского континента. Но, видит Бог, я не мог поступить иначе!»
18.09.2022 в 21:48
Река Замбези, чье русло является автором такого чуда света, является четвертой по величине рекой на Африканском континенте. И водопад Виктория находится как раз посередине между ее истоком и Индийским океаном.
До водопада река течет очень спокойно и плавно, так как ее русло проходит по долине, созданной базальтовой плитой. Весь ландшафт долины формируют редкие невысокие песчаные холмы. В этой части река имеет множество островов, концентрация которых увеличивается при подходе к месту падения воды.
18.09.2022 в 05:48
Природа порой создаёт удивительные и уникальные места, и водопад Виктория является одним из наиболее интересных среди них.
Человеку не под силу создать что-то столь же прекрасное, и, попав сюда, понимаешь это с кристальной ясностью. Конечно, добраться до водопада Виктория непросто, потому что расположен он далеко, в сердце Африки, но те счастливчики, которым это удалось, запоминают это зрелище до конца жизни.
19 интересных фактов о геометрии для юных математиков
Геометрия — неотъемлемая часть математики, применимая почти во всех сферах жизни.
Слово «геометрия» произошло от греческого слова, означающего «измерения Земли». Египетские математики были пионерами, разработавшими принципы геометрии.
Они также придумали некоторые геометрические уравнения, используемые для измерения площадей различной формы. Позже греческие математики модифицировали геометрические формулы, что привело к развитию геометрии. Среди этих греческих математиков Евклид известен как отец геометрии. Эта аккредитация в основном связана с его невероятным вкладом в старейшую отрасль математики.
Геометрия против.
Алгебра Изучая математику, вы столкнетесь с различными разделами и формами математики. Среди них наиболее распространены геометрия и алгебра. Но что именно отличает эти две ветви математики?
Геометрия была разработана древними египтянами в 3000 г. до н.э., тогда как вавилонские математики создали алгебру в 1900 г. до н.э. В то время как египетский математик Евклид является отцом геометрии, Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми, мусульманский астроном и математик, является отцом алгебры.
Геометрия — это область, которая в основном сосредоточена на изучении геометрических фигур и использовании их формул для нахождения градусов и радианов. Что касается алгебры, то она включает в себя изучение уравнений, арифметики и выяснение отношений между соотношениями и переменными.
В зависимости от формы объектов геометрия делится на две части: объемную и планиметрию. Алгебра использует методы замены, исключения и перекрестного умножения для решения различных уравнений.
Его история восходит к 3000 г. до н.э., когда речь идет о принципах геометрии. В этот период египетские математики использовали геометрию для различных формул и для определения площади различных объектов, в том числе с неправильными формами и внутренними углами.
Основное применение геометрии видно в компьютерной графике, где она используется в аудиовизуальных презентациях для улучшения искусства и творчества. Большинство игр также используют эту концепцию для определения формы объектов и используемого расстояния.
Архитектурные конструкции памятников и зданий основаны исключительно на геометрических приложениях. Предполагается, что геометрия в основном была разработана для строительства домов и зданий в древние времена.
Другое применение геометрии встречается у художников, которые используют геометрические концепции для выражения своих идей и создания великолепных картин.
Важность геометрии Геометрия играет важную роль в большинстве повседневных приложений, включая астрономию, инженерию, архитектуру, природу, машиностроение, спорт, искусство, робототехнику, космические исследования и многое другое.
Следовательно, необходимо выяснить, какое значение может предложить геометрия.
Геометрия помогает развивать навыки логического мышления, аналитические рассуждения и укрепляет базовые навыки.
Повседневные геометрические фигуры используются для создания чего-то нового или работы с базовыми элементами.
Геометрия помогает людям находить правильные измерения при строительстве объектов в различных областях.
Геометрические инструментыГеометрические инструменты — это инструменты, которые помогают создавать различные геометрические фигуры и формы. Каждый день вы сталкиваетесь со многими интересными фигурами, и чтобы разобраться в их характерных свойствах и нарисовать их, вам нужны эти инструменты.
Линейка, также известная как линейка, используется для проведения прямой линии между двумя точками.
Циркуль — это геометрический инструмент, используемый в основном для рисования круга. С помощью циркуля можно рисовать круги разных размеров.
Транспортир — еще один инструмент, используемый для измерения различных типов углов. Этот полукруглый диск также позволяет рисовать углы разных размеров.
Крайне важно разъяснять учащимся основы геометрии еще в начальной школе, так как в будущем вы будете использовать ее в повседневной жизни. Понимание этого вопроса приведет к правильной координации, большему вниманию, лучшему мышлению и повышению общего качества жизни.
Часто задаваемые вопросы Что такое геометрия?Геометрия — это область математики, которая имеет дело с углами, объемами и площадями различных объектов, таких как круги и треугольники. Он состоит из различных форм, таких как объемная геометрия, плоская геометрия и проективная геометрия.
Какие три типа геометрии существуют? Что касается двухмерной геометрии, то она делится на три основных типа: евклидова геометрия, сферическая или эллиптическая геометрия и гиперболическая геометрия.
Пифагор, греческий философ и математик, получил признание за свои вклады в теорему Пифагора.
В чем разница между алгеброй и геометрией?Одно из существенных различий между геометрией и алгеброй заключается в том, что геометрия — это часть математики, включающая изучение различных форм, поверхностей, твердых тел, углов и объектов различных размеров. С другой стороны, алгебра в основном фокусируется на переменных, которые могут быть количествами или числами, и в основном используется в геометрических формулах и уравнениях.
Является ли тригонометрия частью геометрии? Тригонометрия — это часть геометрии, которая включает изучение прямоугольных треугольников. Гипотенуза — самая длинная сторона прямоугольного треугольника, всегда лежит на противоположном конце прямого угла. Для треугольников три внутренних угла всегда должны составлять в сумме 180°.
Заявление об отказе от ответственности
В Kidadl мы гордимся тем, что предлагаем семьям оригинальные идеи, чтобы максимально использовать время, проведенное вместе дома или на улице, где бы вы ни находились. Мы стремимся рекомендовать самые лучшие вещи, предложенные нашим сообществом, и то, что мы сделали бы сами — наша цель — быть надежным другом для родителей.
Мы стараемся изо всех сил, но не можем гарантировать совершенство. Мы всегда будем стремиться предоставить вам точную информацию на дату публикации, однако информация может меняться, поэтому важно, чтобы вы провели собственное исследование, перепроверили и приняли решение, подходящее для вашей семьи.
Kidadl вдохновляет детей развлекать и обучать их. Мы понимаем, что не все виды деятельности и идеи подходят и подходят для всех детей и семей или во всех обстоятельствах. Наши рекомендуемые занятия основаны на возрасте, но это ориентир. Мы рекомендуем использовать эти идеи в качестве вдохновения, чтобы идеи воплощались в жизнь под надлежащим наблюдением взрослых, и чтобы каждый взрослый использовал свое собственное усмотрение и знания своих детей для рассмотрения безопасности и пригодности.
Kidadl не может нести ответственность за реализацию этих идей, поэтому рекомендуется постоянно находиться под присмотром родителей, так как безопасность превыше всего. Любой, кто использует информацию, предоставленную Kidadl, делает это на свой страх и риск, и мы не несем ответственности, если что-то пойдет не так.
Политика в отношении спонсорства и рекламы
Kidadl является независимой организацией, и чтобы сделать наши услуги бесплатными для вас, читатель, мы поддерживаем рекламу.
Надеемся, вам понравились наши рекомендации по продуктам и услугам! То, что мы предлагаем, выбирается независимо командой Kidadl. Если вы совершаете покупку с помощью кнопки «Купить сейчас», мы можем получить небольшую комиссию. Это не влияет на наш выбор. Обратите внимание: цены указаны правильно, а товары есть в наличии на момент публикации статьи.
У Kidadl есть ряд партнеров, с которыми мы работаем, включая Amazon. Обратите внимание, что Kidadl является участником партнерской программы Amazon Services LLC, партнерской рекламной программы, предназначенной для предоставления сайтам средств для получения платы за рекламу за счет рекламы и ссылок на Amazon.
Мы также ссылаемся на другие веб-сайты, но не несем ответственности за их содержание.
История от практики к абстракции
1. Древняя и классическая геометрия
Как неотъемлемая часть их повседневной жизни, древние культуры знали значительное количество геометрии как практического измерения и как правила разделения и комбинирования форм различных видов для строительства храмов, дворцов и гражданского строительства. Для своих повседневных практических целей люди жили на «плоской» Земле. «Прямая линия» представляла собой туго натянутую веревку, по которой можно было нарисовать круг. путем обхода фиксированной точки.
Аристотель (384-322) до н.э.
Большая часть знаний этих народов была хорошо известна в Средиземноморье, и когда греческая цивилизация начала утверждаться в 4 веке до н. э., такие философы, как Аристотель (384–322 гг. до н. э.), разработали особый способ размышления и продвигал способ обсуждения, который требовал от участников как можно более четко изложить основу их аргументов. В этой атмосфере греч.
Логика родилась.
Евклид Александрийский
(325-265)
В этот период Александрия стала одним из важных центров греческого образования, и именно здесь примерно в 300 г. до н.э. были написаны «Элементы математики» Евклида. Следуя принципам Аристотеля, Евклид основывал свою математику на ряде определений основных объектов, таких как точки, прямые линии, поверхности, углы, окружности и треугольники, а также на аксиомах (или постулатах). Это были согласованные отправные точки для его развития математики.
Первые три постулата о том, что можно сделать, следующий постулат о равенстве прямых углов, а последнее утверждение использует сумму двух прямых углов для определения пересечения двух прямых: прямая линия из любой точки в любую другую точку.
Как только Евклид отложил перо, у математиков и философов возникли трудности с пятым постулатом. В отличие от кратких формулировок первых четырех, пятая выглядела так, как будто она должна быть теоремой, а не аксиомой, что означает, что она должна быть выведена из других аксиом. Мы знаем это из различных логических анализов, написанных другими математиками. в V век н.э., Прокл (411-485 н.э.) дал более простую версию пятого постулата:
- Имея прямую и точку, не лежащую на прямой, можно провести ровно одну прямую через заданную точку, параллельную прямой.
Playfair’s Axiom
John Playfair (1748-1819)
9 Джон Плейфер, написавший важную работу о Евклиде в 179 г. 5, хотя эта аксиома известна уже более 1200 лет!
Арабские математики изучили греческие работы, логически проанализировали относительно сложное утверждение пятого постулата и создали свои собственные версии.
Абул Вафа аль-Бузджани (940-998)
Абул Вафа разработал некоторые важные идеи тригонометрии и, как говорят, изобрел пристенный квадрант [см. примечание 1 ниже] для точного измерения склонения звезд . Он также ввел функции тангенса, секанса и косеканса и усовершенствовал методы расчета тригонометрических таблиц с интервалом 15° и точностью до 8 знаков после запятой. Все это делалось в рамках исследование орбиты Луны в его Теории Луны . Его именем назван кратер Абул-Вафа.
В результате своих тригонометрических исследований он разработал способы решения некоторых задач о сферических треугольниках.
Греческие астрономы уже давно представили геометрическую модель Вселенной. Абул Вафа был первым арабским астрономом, который использовал идею сферического треугольника для разработки способов измерения расстояния между звездами внутри сферы. На прилагаемой диаграмме синий треугольник со сторонами a, b и c представляет расстояния между звездами внутри
сфера. Вершина, где отмечены три угла, является положением наблюдателя.
Сферический треугольник
Омар Хайям (1048-1131)
Известный своей поэзией, Омар Хайям был также выдающимся астрономом и математиком, написавшим книгу Комментарии к трудным постулатам Евклида1. Он попытался доказать пятый постулат и обнаружил, что обнаружил некоторые неевклидовы свойства фигур.
Омар Хайям (1048-1131)
Омар Хайям Четырехугольник
Омар Хайям построил четырехугольник, показанный на рисунке, чтобы доказать, что пятый постулат Евклида может быть выведен с других четырех. Он начал с построения равных отрезков AD и BC, перпендикулярных AB. Он понял, что если бы, соединив C и D, он мог доказать, что внутренние углы при вершине четырехугольника прямые, то он показал бы, что
DC параллелен АВ. Хотя он показал, что внутренние углы при вершине равны (попробуйте сами), он не смог доказать, что они прямые.
Nasir Al-Din Al-Tusi (1201-1274)
Насир аль-Дин Аль-Туси (1201-1274)
Аль-Туси написал комментарии на многих ГИК-Тексах и его работа по работе на работе на работе. Пятый постулат Евклида был переведен на латынь, и его можно найти в работе Джона Уоллиса 1693 года. и противоположный угол по ту же сторону, или сумма внутренних углов по ту же сторону равна двум прямым углам, то прямые параллельны друг другу».
Аль-Туси. Даны две прямые AB и CD на плоскости и ряд перпендикуляров к CD, проведенных из PQ в XY так, чтобы они пересекались с AB. С каждой стороны этих перпендикуляров один угол острый (к А), а другой тупой (к В). Ясно, что перпендикуляр PQ длиннее всех остальных и, наконец, длиннее XY. Противоположное также верно; перпендикуляр XY короче всех до EF включительно.
Таким образом, если любую пару этих перпендикуляров выбрать для создания прямоугольника, прямоугольник будет содержать острый угол (со стороны А) и тупой угол (со стороны В). Итак, как мы можем убедиться, что перпендикуляры имеют одинаковую длину, или показать, что оба угла прямые?
Один из наиболее важных математических вкладов ат-Туси состоял в том, что он показал, что вся система плоской и сферической тригонометрии является независимой ветвью математики . При настройке системы он обсуждал сравнение изогнутых и прямых линий. «Формула синусов» для плоских треугольников была известна уже некоторое время, и Аль-Туси установил аналогичная формула для сферических треугольников:
Правило синусов плоского треугольника
Правило синусов сферического треугольника
Великие круги Треугольник
. вместе они создали первую реальную неевклидову геометрию , которая требовала вычислений для ее обоснования, а также логических аргументов. Это был ‘ Геометрия внутри сферы ‘.
2. Ренессанс и Раннее Новое время
Взгляд художников
В средние века христианское искусство выполняло в основном иерархическую функцию. Важные люди на картине делались крупнее других, а иногда для создания впечатления глубины группы святых или ангелов выстраивались рядами друг за другом, как на футбольной террасе. «Оптика» Евклида представила теоретическую геометрию зрения, но оптическая работа Аль-Хайтама (965-1039) стало известно, художники стали разрабатывать новые техники. Картины в правильной перспективе появляются в четырнадцатом столетии, и методы устройства «мостовой», несомненно, передавались от мастера к ученику.
Леоне Баттиста Альберти (1404-1472) опубликовал первое описание метода в 1435 году и посвятил свою книгу Филиппо Брунеллески (1377-1446), который первым дал правильный метод построения линейной перспективы и явно использовал этот метод к 1413 г.
Leone Battista Alberti (1404-1472)
Строительство Alberti. В центре картинной плоскости отметьте линию Н (горизонт) и на ней отметьте V (точка схода). Нарисуйте серию равноотстоящих линий от буквы V до нижней части изображения. Затем отметьте любую точку Z на линии горизонта и проведите линию от Z до угла кадра под H. Эта линия пересечет все линии от V. Точки пересечения дают правильные места для рисования горизонтальных линий «мостовой», на которой будет основана картина.
Пьеро делла Франческа (1412–1492) был высококомпетентным математиком, написавшим трактаты по арифметике и алгебре, а также классическую работу по перспективе, в которой он демонстрирует важное обращение предложения 21 в Книге Евклида VI:b
«Фигуры, подобные одной и той же прямолинейной фигуре, подобны и друг другу».
Евклид использует это предложение, чтобы установить, что сходство является транзитивным отношением.
Обратное обращение Пьеро показало, что если пару неравных параллельных отрезков разделить на равные части, то линии, соединяющие соответствующие точки, сходятся к точке схода.
Piero della Francesca (1412-1492)
Piero Euclid VI, 21 diagram
Piero’s argument was based on тот факт, что каждая из пар треугольников $ABD$ и $AHK, ADE$ и $AKL$ и т. д. подобны, так как $HK$ параллелен $BC$, и что отношение $AB$ к $BC$ такое же, как от $AH$ до $HI$. Это означает, что все сходящиеся линии встречаются в точке A, точке схода (в бесконечности).
Другие известные художники усовершенствовали эти методы, и в 1525 году Альбрехт Дюрер (1471-1528) выпустил книгу, демонстрирующую ряд механических приспособлений для перспективного рисования.
Durer «Reclining woman» perspective picture
Albrecht Durer (1471-1528)
Desargues and Projective Geometry
In 1639, Girard Desargues (1591-1661) написал свой новаторский трактат по проективной геометрии. Ранее он выпустил практическое руководство для архитекторов и руководство по резке камня для масонов, но его подход был теоретическим и трудным для понимания. В своем трактате 1639 года он ввел много новых фундаментальных понятий. Термин «точка в бесконечности» (точка схода)
появляется впервые. Он также использует идеи «конуса зрения» и говорит о «карандашах линий», таких как линии, исходящие из точки схода (и если вы можете иметь точку в бесконечности, то почему бы не сделать больше линий в бесконечности). ?).
Это был совершенно новый вид геометрии. Фундаментальные отношения были основаны на идеях «проекции и сечения», что означает, что любая жесткая евклидова форма может быть преобразована в другую «подобную» форму с помощью перспективного преобразования .
Квадрат можно преобразовать в параллелограмм (вспомните игру теней), и хотя количество и порядок сторон остаются прежними, их длина меняется.
конус Дюрера
Новая геометрия не была признана в то время, потому что технический язык Дезарга был сложным, а также потому, что координатная геометрия Рене Декарта, опубликованная тремя годами ранее, была очень популярна. В конце 18 века работа Дезарга была заново открыта и развилась как теоретически, так и практически в последовательную систему с центральными концепциями инвариантности и двойственности .
В проективной геометрии длины и соотношения длин, углов и формы фигур могут изменяться при проецировании. Параллельных прямых не существует, потому что любая пара различных прямых пересекается в одной точке.
Свойства, которые инвариантны относительно проекции , — это порядок трех или более точек на прямой и перекрестное отношение между четырьмя точками $A, B, C, D,$, так что $\frac{AC} {BC}=\frac{AD}{BD}$
Другим важным понятием в проективной геометрии является двойственность . На плоскости термины «точка» и «линия» двойственны и могут быть заменены в любом правильном утверждении, чтобы получить другое правильное утверждение.
См. статьи Лео на Доказательство (для инвариантов, проекции и сечения) и теоремы о четырех красках (для двойственности). 3. Современная геометрия считается истинной геометрией реального мира. Тем не менее, математики по-прежнему беспокоились о справедливости постулата о параллельных.
В 1663 году английский математик Джон Уоллис перевел работу ат-Туси и последовал его логике. Для доказательства пятого постулата он предположил, что для каждой фигуры существует подобная фигуре произвольного размера. Однако Уоллис понял, что его доказательство основано на предположении, эквивалентном постулату параллельности.
Титульный лист Саккери
Джироламо Саккери (1667-1733) вступил в орден иезуитов в 1685 году. Он отправился в Милан, изучал философию и богословие и математику. Он стал священником и преподавал в различных иезуитских колледжах, в конце концов преподавал философию и теологию в Павии и до самой смерти занимал там кафедру математики. Саккери знал о работе араба
математиков и следовал рассуждениям ат-Туси в его исследовании постулата о параллельности, а в 1733 г. он опубликовал свою знаменитую книгу «Евклид, освобожденный от всех недостатков».
В своем первом предложении в начале своей книги Саккери построил четырехугольник аналогично предложению Омара Хайяма (выше) и доказал, что углы $ADB$ и $BCA$ равны равный. Затем он рассмотрел длину верхней стороны четырехугольника $CD$ и в предложении III установил три возможности в зависимости от того, равно ли $CD$, меньше или больше основание $AB$.
Эти возможности эквивалентны:
Гипотеза I : Существует ровно одна параллель (случай прямого угла, $CD=AB$)
Гипотеза II: Нет параллелей (тупой угол случай, $CD$< $AB$)
Гипотеза III : Существует более одной параллели (случай острого угла, $CD$> $AB$) предполагает, что (i) прямая линия делит плоскость на две отдельные области и (ii) эта прямая линия может иметь бесконечную протяженность. Эти предположения несовместимы со случаем тупого угла, поэтому он отвергается. Однако они совместимы со случаем острого угла, и мы можем видеть из его диаграммы (рис. 33) и предложения XXXII ниже, что он рассматривает пересечение в
бесконечность как конечная точка, и в этом его противоречие.
Предложение XXXII
«Теперь я говорю, что существует (в гипотезе об остром угле) некоторый определенный острый угол $BAX$, под которым $AX$ (рис. 33) только на бесконечном расстоянии пересекается $ BX$ и, таким образом, является пределом частью изнутри, частью снаружи; с одной стороны всех тех, которые под меньшими острыми углами встречаются с названной $BX$ на конечном расстоянии; с другой стороны также и другие, которые под более острыми углами, вплоть до прямого угла включительно, имеют общий перпендикуляр в двух различных точках с $BX$».0003
Теперь кривая AX кажется нам асимптотой, но он говорит, что $AX$ встречается с $BX$ «на бесконечном расстоянии», так что в следующем предложении XXXIII он утверждает:
«Гипотеза острый угол абсолютно ложен, потому что он противен природе прямой линии».
Ирония судьбы в том, что на следующих двадцати или около того страницах, чтобы показать, что случай острого угла невозможен, он демонстрирует ряд элегантных теорем неевклидовой геометрии! Было ясно, что Саккери не мог справиться с совершенно логичным выводом, который, как ему казалось, противоречил здравому смыслу.
Работа Саккери была практически неизвестна до 1899 года, когда она была обнаружена и переиздана итальянским математиком Эудженио Бельтрами (1835–1900). Насколько нам известно, это не оказало влияния на Ламберта, Лежандра или Гаусса.
Йохан Хейнрих Ламберт
(1728-1777)
Johan Heinrich Lambert (1728-177). Он исследовал гипотезу острого угла, не получив противоречия. Ламберт заметил любопытный факт, что в этой новой геометрии сумма углов треугольника увеличивается по мере уменьшения площади треугольника.
Адриан-Мари Лежандр (1752–1833) провел много лет, работая над постулатом параллельности, и его усилия отражены в различных изданиях его « Элементов геометрии ». Лежандр доказал, что пятый постулат эквивалентен утверждению, что сумма углов треугольника равна двум прямым.
углы . Лежандр также получил в своих исследованиях ряд непротиворечивых, но противоречивых результатов, но не смог объединить эти идеи в непротиворечивую систему.
Многие следствия Постулата Параллели, взятые вместе с другими четырьмя аксиомами плоской геометрии, можно логически показать, что они влекут за собой Постулат Параллели. Например, эти утверждения также можно рассматривать как эквивалент постулата о параллельных.
- В любом треугольнике три угла в сумме дают два прямых угла.
- В любом треугольнике каждый внешний угол равен сумме двух внутренних противоположных углов.
- Если две параллельные прямые пересечены секущей, то параллельные внутренние углы равны и соответствующие углы равны.
Карл Фридрих Гаусс (1777-1855)
Карл Фридрих Гаусс (1777-1855)
Гаусс был первым, кто по-настоящему понял проблему параллелей. Он начал работу над пятым постулатом, пытаясь доказать его на основе четырех других. Но к 1817 году он убедился, что пятый постулат независим от остальных четырех, а затем начал работать над геометрией, в которой через данную точку можно провести более одной линии, параллельной данной линии. Он сказал одному или двум близким
друзей о его работе, хотя он никогда не публиковал ее и в частном письме 1824 г. писал:
«Предположение, что (в треугольнике) сумма трех углов меньше 180°, приводит к любопытной геометрии, совершенно отличной от нашей, но полностью последовательной, которую я разработал к своему полному удовлетворению».
Окончательный прорыв был совершен совершенно независимо двумя мужчинами, и ясно, что ни Бойяи, ни Лобачевский совершенно не знали о работе друг друга.
Николай Иванович Лобачевский
(1792-1856)
Николай Иванович Лобачевский (1792-1856) не пытался доказать пятый постулат, а работал над геометрией, где пятый постулат не обязательно выполняется. Лобачевский рассматривал евклидову геометрию как частный случай этой более общей геометрии и поэтому был более открыт для странных и необычных возможностей. В 1829 году он опубликовал первый отчет о
его исследования на русском языке в журнале Казанского университета, но не были замечены. Его оригинальная работа, Геометрия уже была завершена в 1823 году, но опубликована только в 1909 году. линии, лежащие в одной плоскости, разделить на два класса — на секущие и несекущие. Граничные линии того и другого класса этих линий будем называть параллельными данной линии».
Красная линия – граница, «параллель» линии BC.
Лобачевский пытался добиться признания своей работы Геометрические исследования по теории параллелей , а отчет на французском языке в 1837 году представил его работу по неевклидовой геометрии широкой аудитории, но математическое сообщество еще не было готово принять эти революционные идеи.
Диаграмма Лобачевского 2 0
00009 Янош Бойяи
(1802–1860) был сыном математика Фаркаша Бойяи, друга Гаусса.
Фаркаш работал над проблемой пятого постулата, но не смог продвинуться вперед.
Янош Бойяи (1802-1860))
создал странный новый мир». Однако Яношу потребовалось еще два года, прежде чем он был завершен, и его работа была опубликована в качестве приложения к учебнику его отца. Янош показал, что последовательное геометрия с использованием случая гипотезы острого угла была возможна.
Янош Бойяи решил исследовать три основные гипотезы прямого, тупого и острого углов, отделив случай, когда пятый постулат был верен (случай прямого угла), от случаев, когда он был верен. не правда. На этой основе он установил две системы геометрии и искал теоремы, которые могли бы быть справедливы в обеих.
Работу Яноша Бойяи прочитал Гаусс, который признал и отдал должное молодому гению. Однако, когда позже Гаусс объяснил Яношу, что он сам сделал эти открытия несколько лет назад, Янош был опустошен. Позже Янош узнал, что Лобачевски предвосхитил его работу, которая разочаровала его еще больше. Он продолжал заниматься математикой, представляя некоторые оригинальные идеи, но его
энтузиазм и здоровье ухудшились, и он больше никогда не публиковался.
Лобачевски и Бойяи открыли то, что мы теперь называем гиперболической геометрией. Это геометрия гипотезы острого угла, где «линия» больше не является прямой линией, и есть много возможных линий, проходящих через данную точку, которые не пересекают другую линию. Это очень трудно визуализировать, и для людей, воспитанных в вере в то, что евклидова геометрия «истинна», это было нелогично. и неприемлемо.
Эудженио Бельтрами (1835-1900)
Только в 1868 году Бельтрами создал первую модель гиперболической геометрии на поверхности псевдосферы, когда многие математики начали принимать эту странную новую геометрию.
Представьте круговую полярную сетку (наподобие доски для дартс), вытянутую из начала координат.
Он образует воронкообразную поверхность. Любой треугольник, нарисованный на этой сетке, станет еще более искаженным, если его вершина находится вблизи начала координат. Все линии, идущие вверх по поверхности, являются асимптотами к одной центральной линии, поднимающейся вертикально от начала координат. Все эти линии являются «параллельными» линиями, проходящими через
единственная предельная точка на бесконечности.Если Трактрикс вращать вокруг своей вертикальной оси, образующаяся поверхность будет полной псевдосферой.
. В модели точек, все линии, на дугах, за исключением диаметра (за исключением диаметра (за исключением дуги. бесконечный радиус). «Параллельные» линии считаются асимптотами, где предельная точка находится на окружности. В этой модели многие «параллели» могут проходить через одну и ту же точку. Этот диск имеет базовую четырехкратную симметрию. Желтый диск Пуанкаре имеет седьмой порядок симметрии.
Мауриц Эшер использовал
шестикратная симметрия для его гравюры «Предел круга IV» — изображение с переплетенными ангелами и дьяволами. Для получения дополнительной информации об Эшере см.: http://www.mcescher.com/
Постепенно другие модели помогли сделать новые идеи более надежными, и в 1872 году знаменитый немецкий математик Феликс Клейн (1849-1925) разработал свой общий взгляд на геометрию, объединив различные сферическую, перспективную проективную и гиперболическую геометрии с другими как множествами. аксиом и свойств, инвариантных под действием некоторых преобразований. Таким образом, математики наконец стал свободно думать о геометрии абстрактно как о наборе аксиом, операций и логических правил, не привязанных к физическому миру.
Для педагогических заметок: используйте вкладку заметок в верхней части этой статьи или нажмите здесь .
Примечания
1. Пристенные квадранты были изобретены и долгие годы использовались астрономами для измерения высоты небесных тел. Они были специально построены как часть древних обсерваторий, и по мере того, как они становились больше, их приходилось поддерживать прочными стенами, чтобы они оставались устойчивыми. Считалось, что чем крупнее прибор, тем точнее получаемые результаты. Правда, чем крупнее
прибор, тем проще разделить шкалу квадранта на градусы, минуты и секунды. Однако точность может зависеть и от других вещей, таких как прицельный прибор. Например, телескопы не были разработаны достаточно хорошо, чтобы быть надежными до начала 18 века, и, поскольку крепление было фиксированным, его использование было ограниченным. Несмотря на проблемы, арабские астрономы смогли
достичь точности около 20 угловых секунд.
Веб-ссылки
Это самые надежные и точные ссылки. Быстрый поиск в Википедии часто дает основную информацию, но будьте осторожны. Всегда лучше перепроверить детали на других сайтах.
Все биографические данные и специальные страницы по неевклидовой геометрии, математике и искусству можно найти на сайте MacTutor в Сент-Эндрюсском университете:
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/
Для получения более подробной информации о математических методах в астрономии посетите сайт «Звездный вестник» истории науки Кембриджского университета:
http://www.hps.cam.ac.uk/starry/starrymessenger.html
На сайте Cut-the-Knot есть хороший набор страниц по неевклидовой геометрии:
http://www.cut-the-knot.org/triangle/pythpar/NonEuclid.shtml
Для отличного изложения и пояснений Евклида с апплетами Java посетите сайт Дэвида Кларка по адресу:
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/toc.html
«Истоки перспективы» — это раздел 11 более обширного курса по искусству и архитектуре в Дартмутском колледже:
http://www.