25 интересных фактов о Пифагоре

Знаменитый учёный Пифагор заложил основы многих научных теорий. Будучи человеком невероятно одарённым, он великолепно разбирался в самых разных науках. Его авторитет был столь велик, что вокруг него сформировался настоящий культ личности, и пифагорейцы почитали своего лидера за едва ли не божественное существо. Многие из них верили, что Пифагор действительно обладает сверхъестественными силами.

Интересные факты о Пифагоре

1. Великий учёный верил в переселение душ, а потом утверждал, что употреблять мясо в пищу нельзя, так как в животных могут быть души людей.
2. Последователи учения Пифагора верили, что числа могут объяснить всё, вплоть до устройства Вселенной.
3. Сам Пифагор утверждал, что помнит некоторые свои прошлые реинкарнации. В частности, он говорил, что в одном из своих прошлых воплощений он был воином, участвовавшим в обороне Трои во время Троянской войны.
4. Многие ученики Пифагора верили, что он был сыном одного из богов Олимпа.
5. Учёному приписывалось умение говорить с животными.
6. Пифагор, как известно, сделал огромный вклад в развитие геометрии. Однако, менее широко известен тот факт, что он преуспел и в ряде других наук.
7. А отличие от многих других древнегреческих учёных, Пифагор не писал трактатов, так как не желал доверять таинства своего учение книгам.
8. Музыка тоже не была чужда великому учёному. Так, он виртуозно играл на таком сложном музыкальном инструменте, как лира.
9. До наших дней не сохранилось ни одной письменной работы Пифагора.
10. Одним из требований для все желающих присоединиться к школе Пифагора был отказ от всего имущества.
11. Один из астероидов в нашей Солнечной системе был назван в честь Пифагора (см. интересные факты о Солнечной системе).
12. Согласно одной старой легенде, свою знаменитую теорему о треугольниках Пифагор не придумал сам, а выиграл у другого ученого, перепив того на спор. Проигравший отдал ему свой свиток с теоремой.
13. Одним из постоянных предметов гардероба учёного была золотая диадема, которую он носил на голове.
14. Согласно другой легенде, Гиппас, ученик Пифагора, открыл золотое сечение, которое опровергало учение Пифагора, и учёный убил его. Но это всего лишь легенда.
    
15. Доподлинно известно, что Пифагор — это прозвище, а не имя. А вот истинное имя, данное учёному при рождении, до сих пор остаётся тайной.
16. Согласно утверждениям древнегреческого философа Порфирия, Пифагор погиб во время одного из мятежей в городе Самос, где он проживал. Впрочем, он дожил до преклонных лет, до 80 или даже до 90 — на эту тему до сих пор ведутся споры.
17. Школа Пифагора имела три основных направления — политическое, религиозное и философское.
18. народные предания утверждают, что первая же лекция, прочитанная учёным на публике, принесла ему около двух тысяч преданных последователей, которые незамедлительно оставили свои семьи и присоединились к его школе.
19. Впервые античные историки стали интересоваться жизнью Пифагора спустя примерно 2 века после его гибели.
20. Пифагор целых 22 года прожил в Египте, жадно поглощая знания древнеегипетских мудрецов. До возвращения в Грецию он также побывал в Вавилоне, где остался ещё на 12 лет.
21. Пифагор первым высказал предположение о том, что наша планета имеет шарообразную форму, а не плоскую (см. интересные факты о Земле).
22. Родители учёного не были образованными людьми. Его отец, к примеру, был каменщиком.
23. У каждого числа в учении пифагорейцев был свой сакральный смысл. К примеру, «10» считалось высшим числом, а цифра «7» ассоциировалась с мудростью.
24. Пифагор оставил родной город в 18 лет, отправившись в долгое путешествие, влекомый жаждой знаний. Тогда он ещё не знал, что это путешествие продлится более 34 лет.
25. Будучи очень крепким физически человеком, Пифагор Самосский несколько раз завоёвывал призовые места на Олимпийских играх, соревнуясь в кулачном бою.

Теорема Фалеса — формулировка, доказательство и применение

Краткое описание

Фалес хорошо известен в истории как талантливый геометр. Именно этому человеку многие учёные приписывают открытие и доказательство многих теорем. Фалес смог разработать весьма интересный способ определения точного расстояния от берега до видимого невооружённым взглядом водного транспорта. Некоторые историки склонны полагать, что именно для этих целей учёный использовал признак некоего сходства прямоугольных треугольников. Современные последователи великого математика высоко ценят все его достижения, что он смог вывести и доказать многочисленные теоремы, законы.

Наиболее логическое доказательство правильности предположений на основании единых положений, принятых за проверенные истины, было изобретено именно греками. Сегодня историкам трудно сказать, что именно в научном перечне принадлежит Фалесу. Конечно, благодаря этому талантливому человеку Греция обрела не только философа и математика, но и естествоиспытателя.

Перед изучением теоремы обязательно нужно понять, что параллелограмм — это самый обычный четырёхугольник, у которого все противоположные стороны попарно параллельны. А вот трапеция является специфическим четырёхугольником, у которого две стороны параллельны друг другу, а две другие стороны обладают противоположными характеристиками. Изучение этой темы состоит из нескольких частей, так как первым делом нужно ознакомиться с теорией, а только потом можно приступать к решению задач.

Основные понятия

Фалесом было доказано, что две прямые линии RF и NS называются параллельными исключительно в том случае, если они проложены в одной плоскости и не пересекаются между собой вне зависимости от длины. Это правило всегда обозначают как RF || NS.

Абсолютно все существующие точки конкретной прямой располагаются на неизменном расстоянии от второй линии. А это значит, что все линии, которые параллельны одной прямой, являются параллельными между собой. Математики полагают, что итоговый угол между параллельными линиями приравнивается 0. Но это утверждение актуально только в том случае, если у отрезков одинаковые направления и они расположены под углом 180 градусов.

В качестве наглядного примера можно рассмотреть ситуацию, когда перпендикуляры RF, NS, EF относятся к одной и той же прямой РЕ и параллельны между собой. При этом прямая РЕ перпендикулярна ко всем остальным линиям. Итоговая длина сформированного отрезка перпендикуляра, расположенного между двумя параллельными прямыми, соответствует расстоянию средних линий. При изучении пространственной теоремы обязательно нужно понимать, что сразу восемь углов возникает при пересечении двух параллельных прямых третьей прямойю

Представленная специалистами формулировка теоремы Фалеса содержит много нюансов, в которых обязательно должен разбираться каждый человек, планирующий решать различные математические задачи. В противном случае будет сложно избежать самых распространённых ошибок. Даже кратко изложенная теория позволяет разобраться в главных математических тонкостях. Чтобы ученику стало понятно то, как именно нужно использовать теорему, можно задействовать специальные таблицы, которые помогут расширить итоговые математические возможности.

Научное пояснение значений

Если постараться поочерёдно отложить сразу несколько одинаковых отрезков только на одной из двух прямых линий, а потом провести прямые через конечные точки, которые смогут пересечь вторую прямую, то именно на второй прямой они смогут отсечь равные отрезки. Развёрнутая формулировка этой темы в геометрии носит название теоремы о пропорциональных геометрических отрезках. В качестве наглядного примера следует ознакомиться с этой формулой: S1S2/N1В2 = S2S3/N2N3 = S1S3/N1N3.

Важные нюансы:

• Востребованная теорема греческого математика является частным случаем закона о пропорциональных отрезках, так как идентичные отрезки можно считать пропорциональными с элементарным коэффициентом ровности, который равняется единице.
• В изучаемой теореме нет каких-либо ограничений и требований на взаимное расположение всех секущих. Это связано с тем, что она верна как для пересекающихся прямых, так и для параллельных линий. На итоговый результат совершенно не влияет то, где находятся отрезки на секущих.

Для изучения всех нюансов этой темы необходимо рассмотреть вариант, который демонстрирует ситуацию с несвязанными парами отрезков. К примеру: существующий угол пересекает прямые LL1 || ВВ1 || СС1 || КК1 и при этом LB = СК. Через точки L и С проводят прямую линию, которая будет расположена параллельно другой стороне сформированного угла LB2В1L1 и СК2К1С1. Свойства параллелограмма тоже имеют свои особенности:

1. LB2 = L1В1.
2. СК2 = С1К1.

Треугольники ? JSS2 и ? СКК2 равны. Они построены на основании второго признака равенства геометрических фигур. Если целью задачи является безусловное доказательство при параллельных прямых, тогда нужно выполнить несколько несложных действий. Следует провести прямую SC. Углы SCK и JSC равны как внутренние накрест лежащие при прямых СК и JS, а также секущей SC.

А вот углы JCS и CSK равны как внутренние накрест проложенные линии при параллельных прямых JC и SK, секущий SC. Тогда по второму признаку равенства треугольников геометрические фигуры JSC и KCS равны. Из этого вытекает, что JC = SK и JS = СК.

Ключевые особенности теоремы

Когда учащийся попробует на одной из двух прямых линий отложить разные отрезки, а потом через их концы провести параллельные линии, которые будут пересекать вторую прямую, то в итоге на второй прямой они обязательно отсекут идентичные между собой отрезки. Даже в школьной математике часто пользуются обобщённой теоремой Фалеса: те отрезки, которые формируются только благодаря параллельным прямым на одной линии, являются пропорциональными по отношению к другой прямой линии.

Записи с идеями Фалеса не удалось сохранить до наших дней, из-за чего историкам приходится восстанавливать информацию из разных источников. Специалистам удалось доказать, что математик из Греции вывел 7 теорем для геометрии. Основное правило гласит, что если параллельные линии, у которых пересекаются стороны угла, отсекают только на одной его стороне равные отрезки, то аналогичная ситуация происходит и на другой его стороне.

Наглядное доказательство

В качестве примера можно взять точки Н1, Н2 и Н3, которые служат для обозначения пересечения используемых параллельных отрезков только с одной стороны угла. А вот для обозначения точек пересечения этих прямых с другой стороны угла используется К1, К2 и К3. Если через точку К2 провести небольшую прямую Т1 и Т2, а также параллельную Н1 и Н2, то в итоге получится обычный параллелограмм: Н1Т1КН2 и Н2К2Т2Н3. Из этого результата можно понять, что Н1Н2 = Т1К2 и Н2Н3 = К2Т2. Этот результат был достигнут благодаря тому, что Н1Н2 = Н2Н3, а Т1К1 = К2Т2.

? Т1В2В1 = ? Т2В2В3 — это утверждение актуально только по отношению ко второму признаку равенства треугольников. Можно понять, что Т1В2 = В2Т2, < Т1В2В1 = < Т2В2В3 (как вертикальные треугольники). < В1Т1В2 = < = В3Т2В2 (как внутренние накрест лежащие треугольники при прямых линиях В1Т1 и Т2В3, а также секущем отрезке Т1Т2). Из установленного равенства треугольников получается, что В1В2 = В2В3. На этом можно считать, что теорема в геометрии полностью доказана. Если всё сделано правильно, то в итоге должна получиться следующая формула: (АВ = ВТ, АА1 || ВВ1 ||ТТ1) А1В1 = В1Т1.

Интересные нюансы из истории

Обобщение теоремы позволило современным математикам понять пропорциональность конкретного отрезка. Действующее правило гласит, что параллельные прямые, которые пересекают стороны угла, отсекают пропорциональные отрезки. Формула выглядит следующим образом: АА1 || ВВ1 || ТТ1 → АВ ВС = А1В1/В1Т1.

Применение обобщённой теоремы имеет несколько интересных исторических фактов:

1. За пределами русской литературы широко распространённой теоремой известного математика Фалеса принято называть раздел евклидовой геометрии. Утверждение касается того, что сформированный угол, который базируется на определённом диаметре окружности, является прямым. Доказательство этой удивительной теоремы действительно приписывают Фалесу, так как этому есть письменное доказательство, которое удалось сберечь.
2. Теоремы Менелая, Фалеса и Чевы используются в первую очередь тогда, когда в условиях задачи были даны соотношения между отрезками. Чаще всего для поиска правильного решения приходится проводить вспомогательный отрезок.
3. В морской отрасли активно используется теорема при построении навигации. Она применяется в качества основного правила о том, что столкновение кораблей, которые движутся по волнам с одинаковой скоростью, неизбежно, если сохранится ранее заданный курс движения.
4. Известная в Аргентине группа представила песню, которая посвящена теореме. В представленном клипе для этой песни было приведено доказательство для прямой теоремы используемых пропорциональных отрезков.
5. Все азы геометрии Фалес постигал на территории Древнего Египта.

Теорему талантливого учёного из Греции активно изучают в 8 классе на уроках геометрии.

Вариации и обобщения

Используемая в геометрии теорема Фалеса с доказательством имеет много нюансов, которые нужно учитывать тем, кто решил изучить эту тему. Если абсолютно идентичные отрезки начинаются от вершины треугольника, то и обратная форма теоремы будет уместной. Для пересекающихся линий предназначена следующая формулировка: если 2 линии пересекают ближайшие прямые, отсекая при этом равные между собой отрезки начиная от самой верхней части, то такие прямые считаются параллельными. Эти нюансы часто не учитывают учащиеся, из-за чего допускают грубые ошибки.

Максимального сходства отрезков на обеих секущих линиях нужно требовать в том случае, если секущие являются параллельными. В противном случае утверждение становится неактуальным. Учащимся нелишним будет узнать следующий закон: L является математическим соответствием между двумя точками прямых линий w и q. Тогда элементарное множество прямых D L (D) будет множеством касательных к некоторому коническому сечению. В приведённой Фалесом теореме в роли конического сечения будет выступать удалённая точка, которая максимально соответствует направлению параллельных линий.

Огромные заслуги талантливого математика

В своё время Фалес Милетский был главным основателем Ионийской школы. Неоценимой заслугой этого человека было создание многофункциональной научной геометрии. Великий учёный специфического египетского искусства измерения смог самостоятельно создать полезную для человечества дедуктивную геометрию.

Благодаря целеустремлённости Фалеса все доступные в то время знания были оперативно переведены в научную категорию. Математик смог донести результаты своих наблюдений до того уровня, который подходит для учеников школ, указав при этом на определённый комплекс понятий. Доказанная талантливым и наблюдательным Фалесом теорема играет одну из самых важных ролей в геометрии. Она была хорошо известна не только в Древнем Египте, но и в других крупных странах. Актуальность и многогранность теоремы позволяет специалистам ежедневно строить новые здания, дороги и другие конструкции.

Фалес смог при помощи обычного посоха и тени установить габариты египетской пирамиды. Для этого он в обычный ясный день закрепил свой массивный посох на том участке, на котором заканчивалась тень от величественного сооружения. Он весь день прождал того момента, когда итоговая длина имеющейся тени от посоха максимально сравнялась с его высотой, после он измерил длину тени.

Благодаря этому он смог доказать всем, что длина одной тени имеет прямое отношение к другой тени, а вот сама высота посоха прямо пропорциональна высоте пирамиды. Эти соображения учёного поразили могущественного фараона по имени Амасис.

Интересные факты о треугольникахKtoiKak.com | KtoiKak.com

Интересные факты о треугольниках

Треугольник – это такой простой многоугольник, состоящий из трех сторон и имеющий столько же углов. Его плоскости ограничиваются 3 точками и 3 отрезками, попарно соединяющими даные точки.

Такая фигура, как треугольник, была известна еще в Древние времена. Об этой фигуре и ее свойствах упоминалось на египетских папирусах четырех тысячелетней давности. Немного позже, благодаря теореме Пифагора и формуле Герона, изучение свойства треугольника, перешло на более высокий уровень, но все же, это происходило более двух тысяч лет назад.

* Китайцы гордятся китайским треугольником и считают, что он есть первоначалом всех фигур, и все остальные фигуры — лишь его частные случаи.

Благодаря знаниям свойств треугольников возникла и такая наука, как тригонометрия. Она оказалась необходимой для человека в его практических потребностях, так как ее применение просто необходимо при составлении карт, измерении участков, да и при конструировании различных механизмов.

А какой самый известный треугольник вы знаете? Это конечно же Бермудский треугольник! Он получил такое название в 50-х годах из-за географического расположения точек (вершин треугольника), внутри которых, согласно существующей теории, возникали связанные с ним аномалии. Вершинами Бермудского треугольника выступают Бермудские острова, Флорида и Пуэрто-Рико.

А известно ли вам, что в теории Лобачевского при сложении углов треугольника их сумма всегда имеет результат меньший, чем 180º. В геометрии Римана, сумма всех углов треугольника больше 180º, а в трудах Эвклида она равна 180 градусам.

Первая буква большого числа алфавитов. Имеет финикийское происхождение и, чаще всего изображается в виде перевернутого треугольника. Числовое значение — единица.

Треугольник Рёло — это геометрическая фигура, образованная пересечением трёх равных кругов радиуса a с центрами в вершинах равностороннего треугольника со стороной a. Сверло, сделанное на основе треугольника Рёло, позволяет сверлить квадратные отверстия (с неточностью в 2%).

Интересные факты о геометрии для детей

Факты о треугольнике для детей Получайте удовольствие, узнавая о треугольниках, с нашим набором фактов для детей. Узнайте, чем отличаются равносторонние, разносторонние и равнобедренные треугольники, а также многое другое.		Круг фактов для детей Наслаждайтесь чтением нашей серии интересных фактов для детей. Узнайте о радиусе, диаметре, окружности и многом другом.
Квадратные факты для детей Квадраты — это нечто большее, чем просто четыре стороны равной длины. Узнайте, что делает квадраты особенными, с нашими фактами и информацией для детей.		Четырехсторонние факты Что такое четырехугольник? Узнайте с нашей подборкой интересных фактов и мелочей. Узнайте о прямоугольниках, параллелограммах, трапециях и многом другом.
Факты о сфере Сферы — отличная форма для подпрыгивания и занятий спортом, но что еще делает их особенными? Наслаждайтесь нашими интересными фактами и информацией о сферах.		Факты о кубах Ознакомьтесь с нашим ассортиментом интересных фактов и информации о кубах. Прочтите и узнайте, каков объем куба, сколько у него граней и другие интересные факты.
2D-многоугольники Узнайте о ряде распространенных многоугольников, таких как пятиугольники, шестиугольники и восьмиугольники. Сравните, как они выглядят, и получайте удовольствие, улучшая свои геометрические навыки.		3D-формы многогранников Многогранники включают в себя множество впечатляющих трехмерных форм. Узнайте больше о пирамидах, додекаэдрах, параллелепипедах и других многогранниках.
Изогнутые 3D-формы Изогнутые 3D-формы — одни из самых интересных. Получайте удовольствие, узнавая о сферах, цилиндрах, конусах и торе, форма которых очень похожа на пончик!		Краткая история геометрии Ознакомьтесь с краткой историей геометрии и узнайте, с чего все началось. Как давно люди использовали геометрию? Откуда это слово? Читайте и узнайте!

История геометрии — интересные факты и информация

Слово «геометрия» происходит от греческих слов «гео», что означает земля, и «метрия», что означает мера.

Наряду с арифметикой геометрия была одной из двух областей досовременной математики.

Древние египтяне использовали принципы геометрии еще в 3000 году до нашей эры, используя уравнения для аппроксимации площади кругов среди других формул.

Вавилоняне измерили длину окружности круга примерно в 3 раза больше диаметра, что довольно близко к сегодняшнему измерению, в котором используется значение Пи (около 3.14).

Греческий математик по имени Евклид, живший около 300 г. до н.э., часто упоминается как «отец геометрии» за его удивительные работы по геометрии, которые включали влиятельные «Элементы», которые оставались основным учебником для преподавания математики примерно до начала 20-го века. век.

Греки построили эстетически привлекательные здания и произведения искусства на основе золотого сечения примерно 1.618.

Греческий философ и математик Пифагор жил около 500 г. до н.э. и известен своей теоремой Пифагора, относящейся к трем сторонам прямоугольного треугольника: a² + b² = c²

Архимед Сиракузский жил около 250 г. до н. Э. И сыграл большую роль в истории геометрии, включая метод определения объема объектов неправильной формы.

Циркуль и линейка были мощными инструментами в развитии геометрии, позволяя создавать различные длины, углы и геометрические формы.

Современная геометрия претерпела изменения во многих областях, в том числе в тех, которые используют грубую вычислительную мощность современных компьютеров.

Геометрия

Геометрия — это все о формах и их свойствах.

Если вам нравится играть с объектами или рисовать, то геометрия для вас!

Геометрию можно разделить на:

Плоская геометрия — это плоские формы, такие как линии, круги и треугольники… фигуры, которые можно нарисовать на листе бумаги

Solid Geometry — это трехмерные объекты, такие как кубы, призмы, цилиндры и сферы.

Совет: попробуйте нарисовать некоторые формы и углы по мере изучения … это поможет.

Точка, линия, плоскость и твердое тело

Точка не имеет размеров, только позиция
Линия одномерная
Самолет двумерный (2D)
Твердое тело трехмерное (3D)

Почему?

Почему мы занимаемся геометрией? Чтобы открывать закономерности, находить площади, объемы, длины и углы, а также лучше понимать мир вокруг нас.

Плоская геометрия

Плоская геометрия — это все о формах на плоской поверхности (например, на бесконечном листе бумаги).

Полигоны

Многоугольник — это двухмерная фигура, состоящая из прямых линий. Треугольники и прямоугольники — это многоугольники.

Вот еще несколько:

Круг

Теоремы о круге (расширенная тема)

Символы

В геометрии используется много специальных символов. Вот вам краткая справка:

Геометрические символы

Конгруэнтные и похожие

Уголки

Типы углов

Преобразования и симметрия

Преобразований:

Симметрия:

Координаты

Более сложные темы по геометрии плоскости

Пифагор

Конические секции

Теоремы о круге

Центры треугольника

Тригонометрия

Тригонометрия — отдельная тема, поэтому вам, возможно, захочется посетить:

Твердая геометрия

Solid Geometry — это геометрия трехмерного пространства, в котором мы живем…

… начнем с самых простых форм:

Общие 3D-формы

Многогранники и неполиэдры

Есть два основных типа твердых тел: «Многогранники» и «Неполиэдры»:

Многогранники (у них должны быть плоские грани) :

Геометрия | математика | Britannica

Самые ранние известные однозначные примеры письменных записей — датируемые Египтом и Месопотамией около 3100 г. до н.э. — демонстрируют, что древние народы уже начали разрабатывать математические правила и методы, полезные для съемки земельных участков, строительства зданий и измерения контейнеров для хранения.Начиная примерно с VI века до нашей эры, греки собрали и расширили эти практические знания и на их основе обобщили абстрактный предмет, ныне известный как геометрия, из сочетания греческих слов geo («Земля») и metron («мера»). ) для измерения Земли.

В дополнение к описанию некоторых достижений древних греков, в частности, логического развития геометрии Евклидом в Elements , в этой статье рассматриваются некоторые приложения геометрии к астрономии, картографии и живописи от классической Греции до средневекового ислама и Европы эпохи Возрождения. .Он завершается кратким обсуждением расширений неевклидовой и многомерной геометрии в современную эпоху.

Древняя геометрия: практическая и эмпирическая

Происхождение геометрии лежит в повседневной жизни. Традиционный отчет, сохраненный в книге Геродота «История » (V век до н. Э.), Приписывает египтянам изобретение геодезии с целью восстановления стоимости собственности после ежегодного разлива Нила. Точно так же стремление узнать объемы твердых цифр проистекает из необходимости оценивать дань, хранить нефть и зерно и строить плотины и пирамиды.Даже три сложные геометрические задачи древних времен — удвоение куба, разрезание угла и квадрат круга, которые будут обсуждаться позже, — вероятно, возникли из практических вопросов, из религиозных ритуалов, хронометража и строительства, соответственно, в догреческие общества Средиземноморья. И основной предмет поздней греческой геометрии, теория конических сечений, обязана своим общим значением, а возможно, и своим происхождением, своим приложением к оптике и астрономии.

В то время как многие древние люди, известные и неизвестные, внесли свой вклад в эту тему, никто не мог сравниться с влиянием Евклида и его Элементов геометрии, книги, которой сейчас 2300 лет, и которая является объектом столь же болезненного и кропотливого изучения, как Библия. Однако об Евклиде известно гораздо меньше, чем о Моисее. Фактически, единственное, что известно с достаточной степенью уверенности, — это то, что Евклид преподавал в Александрийской библиотеке во время правления Птолемея I (323–285 / 283 гг. До н. Э.). Евклид писал не только по геометрии, но также по астрономии и оптике, а также, возможно, по механике и музыке. Только Elements , который был широко скопирован и переведен, уцелел.

« элементов» Евклида был настолько полным и ясно написанным, что буквально перечеркнул работу его предшественников.То, что известно о греческой геометрии до него, происходит главным образом из отрывков, цитируемых Платоном и Аристотелем, а также более поздними математиками и комментаторами. Среди других ценных вещей, которые они сохранили, — некоторые результаты и общий подход Пифагора ( c. 580– c. 500 до н. Э.) И его последователей. Пифагорейцы убедили себя, что все вещи являются числами или обязаны своим отношением к ним. Доктрина придавала математике первостепенное значение в исследовании и понимании мира.Платон развивал аналогичную точку зрения, и философы, находившиеся под влиянием Пифагора или Платона, часто восторженно писали о геометрии как о ключе к интерпретации Вселенной. Таким образом, древняя геометрия приобрела ассоциацию с возвышенным, чтобы дополнить ее земное происхождение и репутацию образца точного рассуждения.

Нахождение прямого угла

Древние строители и геодезисты должны были уметь строить прямые углы в поле по требованию. Метод, применявшийся египтянами, принес им в Греции прозвище «съемщики каната», по-видимому, потому, что они использовали веревку для составления своих строительных руководств.Один из способов, которым они могли использовать веревку для построения прямоугольных треугольников, заключался в том, чтобы пометить веревку с петлей с узлами, чтобы веревка, удерживая ее за узлы и сильно натянув, образовывала прямоугольный треугольник. Самый простой способ выполнить трюк — взять веревку длиной 12 единиц, завязать узел на 3 единицы с одного конца и еще на 5 единиц с другого конца, а затем связать концы вместе, чтобы сформировать петлю, как показано на анимация. Однако египетские писцы не оставили нам инструкций об этих процедурах, а тем более намеков на то, что они знали, как их обобщить, чтобы получить теорему Пифагора: квадрат на прямой напротив прямого угла равен сумме квадратов на двух других. стороны.Точно так же ведические писания древней Индии содержат разделы, называемые сульвасутра s, или «правила веревки», для точного расположения жертвенных алтарей. Необходимые прямые углы были сделаны веревками, отмеченными для получения триад (3, 4, 5) и (5, 12, 13).

В вавилонских глиняных табличках ( c. 1700–1500 до н. Э.) Современные историки обнаружили проблемы, решения которых указывают на то, что теорема Пифагора и некоторые особые триады были известны более чем за тысячу лет до Евклида.Однако у прямоугольного треугольника, составленного наугад, очень маловероятно, что все его стороны будут измеряться одной и той же единицей измерения, то есть, каждая сторона будет целым числом, кратным некоторой общей единице измерения. Этот факт, который был шокирован пифагорейцами, породил концепцию и теорию несоизмеримости.

Поиск недоступного

Согласно древней традиции, Фалес Милетский, живший до Пифагора в VI веке до нашей эры, изобрел способ измерения недоступных высот, таких как египетские пирамиды.Хотя ни одно из его сочинений не сохранилось, Фалес, возможно, хорошо знал о вавилонском наблюдении, что для одинаковых треугольников (треугольников, имеющих одинаковую форму, но не обязательно одинаковый размер) длина каждой соответствующей стороны увеличивается (или уменьшается) на одно и то же число. Определение высоты башни с помощью подобных треугольников показано на рисунке. Древние китайцы достигли измерения недоступных высот и расстояний другим путем, используя «дополнительные» прямоугольники, как показано на следующем рисунке, который дает результаты, эквивалентные результатам греческого метода с использованием треугольников.

Сравнение китайской и греческой геометрических теорем На рисунке показана эквивалентность китайской теоремы о дополнительных прямоугольниках и греческой теоремы о подобных треугольниках.

Encyclopædia Britannica, Inc.

Оценка богатства

Вавилонская клинопись, написанная около 3500 лет назад, посвящена проблемам плотин, колодцев, водяных часов и раскопок. В нем также есть упражнение на круглых ограждениях с предполагаемым значением π = 3. Подрядчик по плавательному бассейну царя Соломона, который сделал пруд 10 локтей в поперечнике и 30 локтей вокруг (3 Царств 7:23), использовал то же значение.Однако евреям следовало взять π у египтян перед переходом через Красное море, так как папирус Ринда ( c. 2000 до н.э .; наш основной источник древнеегипетской математики) подразумевает π = 3,1605.

Знание площади круга имело практическую ценность для чиновников, которые вели учет дани фараона, а также для строителей алтарей и бассейнов. Ахмес, писец, который скопировал и комментировал папирус Райнда ( c. 1650 до н.э.), много говорит о цилиндрических зернохранилищах и пирамидах, целых и усеченных.Он мог вычислить их объемы и, как следует из его использования египетского seked , горизонтального расстояния, связанного с вертикальным подъемом в один локоть, в качестве определяющей величины для наклона пирамиды, он кое-что знал о подобных треугольниках.

Угол в фактах геометрии

Дополнение к 60 составляет 30.
Дополнение к 30 составляет 60.

Метод определения значения местоименного числа

Чтобы найти значение местоимения по данной информации, напишите уравнение.Затем решите уравнение и запишите ответ словами.

Пример 1

Какое дополнение до 40?

Решение:

Пример 2

Что такое добавка к 35?

Решение:

Пример 3

Используйте информацию, приведенную на диаграмме, чтобы найти x .

Решение:

Итак, значение x равно 133.

Пример 4

Используйте информацию, приведенную на диаграмме, чтобы найти x .

Решение:

Итак, значение x равно 15.

Углы в точке

Напомним, что:

Сумма всех углов , которые встречаются в точке , равна 360 градусов.

Пример 5

Используйте информацию, приведенную на диаграмме, чтобы найти x .

Решение:

Итак, значение x равно 66.

Ключевые термины

углов смежных, смежных углы, образующие прямую линию, дополнительные углы, дополнительные углы, углы при point

Интересные цифры для учеников начальной и средней школы

Как вы можете заинтересовать своих учеников математикой? Может быть, вы видели несколько забавных математических фактов для детей, которые могут вызвать у студентов любопытство. Эти утверждения и головоломки могут стать отличным способом бросить вызов ученикам, помочь им мыслить критически и дать им возможность развить понимание красоты математики.В более широком смысле, все эти вещи являются мощным средством повышения их интереса и комфорта к предметам STEM.

В следующих разделах предлагаются некоторые интересные числовые факты, которые вы можете представить студентам, чтобы продемонстрировать математические концепции.

5 интересных фактов о цифрах

1. В сутках 86 400 секунд.

День может показаться коротким. Однако, если вы конвертируете его в гораздо меньшую единицу времени, результат может показаться намного большим, чем ожидалось. Удивите своих младших школьников этим фактом, чтобы помочь им оценить время в перспективе.Старшие ученики могут работать над задачами со словами и подсчитывать, сколько времени на что-то уходит.

Советы по реализации фактов

• Вы можете начать урок с того, что скажите учащимся, сколько секунд в минуте или в дне, в зависимости от уровня обучения, или попросите их оценить или вычислить ответ.
• Превратите его в интерактивное занятие и подумайте, как продемонстрировать учащимся время с помощью забавных игр. В одном плане урока от Education World ученики рекомендуют класть головы на парты.После того, как вы скажете «иди» и включите секундомер, они тихонько поднимут руки, когда им покажется, что прошло 60 секунд.
• Попросите учащихся преобразовать другие единицы времени. Например, они могут определить, сколько минут в день.

Связанные факты

• Более 31 миллиона секунд в году. (Если быть точным, 31 536 000 секунд.)
• Ваше сердце бьется примерно 35 миллионов раз в год.

2. Единственные простые числа, заканчивающиеся на «2» или «5», — это два и пять.

Существует бесконечное количество простых чисел — как доказал древнегреческий математик Евклид, а также несколько современных математиков — но только два и пять оканчиваются цифрами «2» и «5». Этот факт делает его отличным переходом в мир простых чисел.

Советы по реализации фактов

• Предоставьте учащимся определение простого числа (целого числа больше 1, делители которого равны только 1 и самому себе) и некоторые примеры простых чисел, например 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 , 23 и 29.Попросите их объяснить, почему 5 и 7 — простые числа, а 8 и 9 — не простые числа.
• Попросите учащихся найти простые числа из диапазона, например 80–100.
• Обсудите старшеклассникам, почему так сложно разложить большие числа на простые множители. Затем вы можете объяснить, почему простые числа используются экспертами в области информационных технологий для шифрования данных.

Связанные факты

• Единственное четное простое число — два. Это потому, что все остальные четные числа можно разделить на два, что исключает возможность превращения чисел в простые.
• Самое большое известное простое число состоит из 23 249 425 цифр. Он называется M77232917 и был обнаружен в январе 2018 года компьютером в Теннесси.

3. В комнате на 23 человека существует 50-процентная вероятность того, что у двух людей один день рождения.

Некоторые из самых забавных математических фактов для детей отлично подходят для ознакомления их с определенными понятиями. Если вы ищете переход к вероятности, лучше всего подойдет «проблема дня рождения» или «парадокс дня рождения».

Графика / полезна, но не требуется: можем ли мы воссоздать это? Нам не нужно указывать авторство, учитывая, насколько популярна эта проблема.

Советы по реализации фактов

• Один из ключей к пониманию парадокса дня рождения состоит в том, что в группе из 23 человек можно составить 253 комбинации дней рождения. Это более половины количества дней в году (183).
• Попросите учащихся проверить теорию. Они могут назначить случайные даты в Интернете и посмотреть, сколько раз нужно найти совпадение.Другой вариант — опросить людей в школе. Обсудите результаты и определите минимальное, максимальное и среднее количество раз, которое потребовалось для поиска повторяющихся дней рождения.
• Вы всегда можете ввести вероятность в задаче о дне рождения, но сконцентрируйте урок на чем-то более простом. В этом случае помогите студентам определить вероятность подбросить монету и получить орел три раза подряд. Затем они могут проводить эксперименты, чтобы увидеть, как результаты соотносятся с вероятностью.

Связанные факты

• Достаточно 70 человек, чтобы вероятность того, что у двух людей один день рождения, достигнет 99 лет.9 процентов. При 367 человек это 100% вероятность.
• Интересная мелочь заключается в том, что самый распространенный день рождения в Соединенных Штатах в настоящее время — 9 сентября, согласно журналу Time.

4. Π — иррациональное число, обнаруженное более тысячи лет назад.

Древние цивилизации знали значение π с точностью до двух десятичных знаков, а к пятому веку китайские математики приблизили это число к семи цифрам. Знакомство учащихся с π или «пи» может помочь им лучше понять что-то важное в геометрии и других областях математики.Есть много интересных фактов о числах для одного из самых особенных и захватывающих чисел.

Советы по реализации фактов

• Объясните, почему π — иррациональное число. У него нет эквивалентных дробей, и его десятичное представление никогда не заканчивается.
• Покажите формулы, содержащие π, включая длину окружности и площадь круга. Попросите учащихся поработать над простыми вычислениями, чтобы увидеть, насколько эффективно π в геометрии.

Связанные факты

• Мировой рекордсмен по запоминанию цифр числа π принадлежит Лу Чао из Китая, который, по данным Live Science, в 2005 году произнес 67 890 цифр.
• День «Пи» отмечается 14 (3/14) марта. Ищете точное совпадение первых 10 цифр числа π? Согласно NBC News, это случается только раз в столетие, и последний момент был в 2015 году. Следующая возможность — в 2115 году, когда 14.03.15, 9:26:53 будет волшебным моментом.

5. Сумма углов треугольника всегда составляет 180 градусов.

Есть несколько типов треугольников, но сумма всех углов всегда будет 180 градусов. Этот интересный факт о числах может помочь вам познакомиться с основами треугольников.

Советы по реализации фактов

• Попросите учащихся посмотреть на разные типы треугольников. Бывают равносторонние, равнобедренные, разносторонние, тупые, острые и прямоугольные треугольники. Чем они отличаются? Чем они похожи?
• Дайте студентам возможность попрактиковаться в вычислении недостающего угла треугольника. Например, каков третий угол треугольника с двумя углами: 120 и 30 градусов?
• Придайте значение треугольникам в реальном мире, обсудив, как они используются в строительстве.Первая запись в разделе «Связанные факты» ниже предлагает дополнительные идеи.

Связанные факты

• Треугольники — самая сильная форма, как объясняет Underground Mathematics, сравнивая треугольники с другими многоугольниками.

• Древнегреческий математик Пифагор определил, что для прямоугольного треугольника квадрат самой длинной стороны (гипотенузы) равен квадратам двух других сторон. Это представлено в уравнении, известном как «Теорема Пифагора», или ² + b ² = c ² .

Поощряйте своих студентов изучать математику и другие предметы STEM

Онлайн-курс магистра математического образования может углубить ваше понимание математических понятий и их использования во всех классах K-12. Вы разовьете содержание математики и педагогику, необходимые для того, чтобы пробудить и привить страсть к математике у следующего поколения учащихся.