Формулы сокращённого умножения многочленов — Википедия

Формулы сокращённого умножения многочленов — часто встречающиеся случаи умножения многочленов. Многие из них являются частным случаем бинома Ньютона. Изучаются в средней школе в курсе алгебры.

Содержание

• 1 Формулы для квадратов
• 2 Формулы для кубов
• 3 Формулы для четвёртой степени
• 4 Формулы для n-ой степени
• 5 Некоторые свойства формул
• 6 См. также
• 7 Литература

Формулы для квадратов

• (a±b)2=a2±2ab+b2{\displaystyle (a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}}
• a2−b2=(a+b)(a−b){\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}
• (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc{\displaystyle \left(a+b+c\right)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc}

Формулы для кубов

• (a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3{\displaystyle (a\pm b)^{3}=a^{3}\pm 3a^{2}b+3ab^{2}\pm b^{3}}
• a3±b3=(a±b)(a2∓ab+b2){\displaystyle a^{3}\pm b^{3}=(a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2})}
• (a+b+c)3=a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3ab2+3ac2+3b2c+3bc2+6abc{\displaystyle \left(a+b+c\right)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}b+3a^{2}c+3ab^{2}+3ac^{2}+3b^{2}c+3bc^{2}+6abc}

Формулы для четвёртой степени

• (a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4{\displaystyle (a\pm b)^{4}=a^{4}\pm 4a^{3}b+6a^{2}b^{2}\pm 4ab^{3}+b^{4}}
• a4−b4=(a−b)(a+b)(a2+b2){\displaystyle a^{4}-b^{4}=(a-b)(a+b)(a^{2}+b^{2})} (выводится из a2−b2{\displaystyle a^{2}-b^{2}})

Формулы для n-ой степени

• an−bn=(a−b)(an−1+an−2b+an−3b2+…+a2bn−3+abn−2+bn−1){\displaystyle a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+…+a^{2}b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})}
• a2n−b2n=(a+b)(a2n−1−a2n−2b+a2n−3b2−…−a2b2n−3+ab2n−2−b2n−1){\displaystyle a^{2n}-b^{2n}=(a+b)(a^{2n-1}-a^{2n-2}b+a^{2n-3}b^{2}-…-a^{2}b^{2n-3}+ab^{2n-2}-b^{2n-1})}, где n∈N{\displaystyle n\in N}
• a2n−b2n=(an+bn)(an−bn){\displaystyle a^{2n}-b^{2n}=(a^{n}+b^{n})(a^{n}-b^{n})}
• a2n+1+b2n+1=(a+b)(a2n−a2n−1b+a2n−2b2−…+a2b2n−2−ab2n−1+b2n){\displaystyle a^{2n+1}+b^{2n+1}=(a+b)(a^{2n}-a^{2n-1}b+a^{2n-2}b^{2}-…+a^{2}b^{2n-2}-ab^{2n-1}+b^{2n})}, где n∈N{\displaystyle n\in N}

Некоторые свойства формул

• (a−b)2n=(b−a)2n{\displaystyle (a-b)^{2n}=(b-a)^{2n}}, где n∈N{\displaystyle n\in N}
• (a−b)2n+1=−(b−a)2n+1{\displaystyle (a-b)^{2n+1}=-(b-a)^{2n+1}}, где n∈N{\displaystyle n\in N}

См. также

• Многочлен
• Бином Ньютона
• Факторизация многочленов

Литература

• М. Я. Выгодский. Справочник по элементарной математике. — Москва, 1958.

Формулы сокращенного умножения: таблица, примеры использования

Формулы сокращенного умножения (ФСУ) применяются для возведения в степень и умножения чисел и выражений. Часто эти формулы позволяют произвести вычисления более компактно и быстро.

В данной статье мы перечислим основные формулы сокращенного умножения, сгруппируем их в таблицу, рассмотрим примеры использования этих формул, а также остановимся на принципах доказательств формул сокращенного умножения.

Формулы сокращенного умножения. Таблица

Впервые тема ФСУ рассматривается в рамках курса «Алгебра» за 7 класс. Приведем ниже 7 основных формул.

Формулы сокращенного умножения

1. формула квадрата суммы: a+b2=a2+2ab+b2
2. формула квадрата разности: a-b2=a2-2ab+b2
3. формула куба суммы: a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3
4. формула куба разности: a-b3=a3-3a2b+3ab2-b3
5. формула разности квадратов: a2-b2=a-ba+b
6. формула суммы кубов: a3+b3=a+ba2-ab+b2
7. формула разности кубов: a3-b3=a-ba2+ab+b2

Буквами a, b, c в данных выражениях могут быть любые числа, переменные или выражения. Для удобства использования лучше выучить семь основных формул наизусть. Сведем их в таблицу и приведем ниже, обведя рамкой.

Первые четыре формулы позволяют вычислять соответственно квадрат или куб суммы или разности двух выражений.

Пятая формула вычисляет разность квадратов выражений путем произведения их суммы и разности.

Шестая и седьмая формулы — соответственно умножение суммы и разности выражений на неполный квадрат разности и неполный квадрат суммы. 

Формула сокращенного умножения иногда еще называют тождествами сокращенного умножения. В этом нет ничего удивительного, так как каждое равенство представляет собой тождество.

При решении практических примеров часто используют формулы сокращ

Формулы сокращенного умножения / Блог :: Бингоскул

Содержание:

• Таблица формул сокращенного умножения
• Примеры использования
• Формулы для квадратов
• Формулы для кубов
• Формулы для четвертой степени

Таблица формул сокращенного умножения

Примеры использования формул

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a+b)² = a²+2ab+b²

Пример: (x + 3y)² = x² + 2 ·x·3y + (3y)² = x² + 6xy + 9y²

---

 

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a-b)² = a²-2ab+b²

Пример: (4x –y)² = (4x)²-2·4x·y + y² = 16x² — 8xy + y²

---

Разность квадратов двух выражений равна произведению разности самих выражений на их сумму.

a²–b² = (a–b)(a+b)

Пример: 9x² – 16y² = (3x)² – (4y)² = (3x – 4y)(3x + 4y)

---

Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

(a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³

Пример: (x + 2y)³ = x³ + 3·x²·2y + 3·x·(2y)² + (2n)³ = x³ + 6x²y + 12xy² + 8y³

---

Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

(a-b)³ = a³— 3a²b+3ab²-b³

Пример: (2x – y)³ = (2x)³-3·(2x)²·y + 3·2x·y² – y³ = 8x³ – 12x²y + 6xy² – y³

---

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы самих выражений на неполный квадрат их разности.

a³+b³ = (a+b)(a²–ab+b²)

Пример: 125 + 8y³ = 5³ + (2y)³ = (5 + 2y)(5² — 5·2y + (2y)²) = (5 + 2y)(25 – 10y + 4y²)

---

Разность кубов двух выражений равна произведению разности самих выражений на неполный квадрат их суммы.

a³— b³ = (a-b)(a²+ab+b²)

Пример: 64x³ – 8 = (4x)³ – 2³ = (4x – 2)((4x)² + 4x·2 + 2²) = (4x – 2)(16x² + 8x + 4)

---

Формулы для квадратов

• (a \pm b)^2= a^2 \pm 2ab + b^2
• a^2 — b^2 = (a + b)(a — b)
• (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc

 

Формулы для кубов

• (a \pm b)^3= a^3 \pm 3a^2b +3ab^2 \pm b^3
• a^3 — b^3 = (a \pm b)(a^2\mp ab+b^2)
• (a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3a^2b+3a^2c+3ab^2+3ac^2+3b^2c+3bc^2+6abc

Формулы для четвертой степени

• (a \pm b)^4= a^4 \pm 4a^3b +6a^2b^2\pm 4ab^3+b^4
• a^4 — b^4 = (a-b)(a+b)(a^2 +b^2) (выводится из a^2 — b^2)

 

---

В заданиях ЕГЭ по математике применяются формулы сокращенного умножения.

Решай с ответами задание 5 по математике база ЕГЭ

Смотри также: Основные формулы по математике

Формулы сокращённого умножения | Алгебра

При выполнении преобразований разных выражений часто встречаются некоторые частные случаи умножения. Равенства, выражающие эти случаи, называются формулами сокращённого умножения.

Формулы сокращённого умножения – это выражения, в которых пропущены промежуточные вычисления, поэтому их и называют сокращёнными.

a² + b² = (a + b)² — 2ab  –  сумма квадратов

a² — b² = (a + b)(a — b)  –  разность квадратов

(a + b)² = a²

+ 2ab + b²  –  квадрат суммы

(a — b)² = a² — 2ab + b²  –  квадрат разности

a³ + b³ = (a + b)(a² — ab + b²)  –  сумма кубов

a³ — b³ = (a — b)(a² + ab + b²)  –  разность кубов

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³  –  куб суммы

(a — b)³ = a³ — 3a²b + 3ab² — b³  –  куб разности

Обратите внимание, что a и

b в формулах сокращённого умножения могут быть как числами, так и выражениями.

Рассмотрим каждую формулу подробнее и приведём доказательство верности формул сокращённого умножения:

• Сумма квадратов двух чисел равна разности квадрата суммы этих чисел и их удвоенного произведения:

  a² + b² = (a + b)² — 2ab

  Доказательство: выполним преобразование правой части формулы, приведём подобные члены и получим левую часть формулы:

  (a + b)² — 2ab = (a + b)(a + b) — 2ab =

  = a² + ab + ab + b² — 2ab = a² + b²

• Разность квадратов двух чисел равна произведению суммы этих чисел на их разность:
  a² — b² = (a + b)(a — b)

  Доказательство: выполним умножение многочленов из правой части формулы, приведём подобные члены и получим левую часть формулы:

  (a + b)(a — b) = a² — ab + ab — b² = a² — b²

• Квадрат суммы двух чисел равен сумме квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе и квадрата второго числа:

  (a + b)² = a² + 2ab + b²

  Доказательство: представим степень в виде произведения, выполним умножение и приведение подобных членов:

  (a + b)² = (a +

  b)(a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²

• Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа:

  (a — b)² = a² — 2ab + b²

  Доказательство: представим степень в виде произведения, выполним умножение и приведение подобных членов:

  (a — b)² = (a — b)(a — b) = a² — ab — ab + b² = a² — 2ab + b²

• Сумма кубов двух чисел равна произведению суммы первого и второго числа на неполных квадрат разности этих чисел:
  a³ + b³ = (a + b)(a² — ab + b²)

  Доказательство: выполним умножение многочленов из правой части формулы, приведём подобные члены и получим левую часть формулы:

  (a + b)(a² — ab + b²) = a³ — a²b + ab² + a²b — ab² + b³ = a³ + b³

• Разность кубов двух чисел равна произведению разности первого и второго числа на неполный квадрат суммы этих чисел:

  a³ — b³ = (a — b)(a² + ab + b²)

  Доказательство: выполним умножение многочленов из правой части формулы, приведём подобные члены и получим левую часть формулы:

  (a — b)(a² + ab + b²) = a³ + a²b + ab² — a²b — ab² — b³ = a³ — b³

• Куб суммы двух чисел равен сумме четырёх слагаемых: куб первого числа, утроенное произведение квадрата первого числа на второе число, утроенное произведение первого числа на квадрат второго и куб второго числа:

  (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

  Доказательство: представим степень в виде произведения, выполним умножение и приведение подобных членов:

  (a

  + b)³ = (a + b)(a + b)² = (a + b)(a² + 2ab + b²) =

  = a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

• Куб разности двух чисел равен кубу первого числа, минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе число, плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго, минус куб второго числа:

  (a — b)³ = a³ — 3a²b + 3ab² — b³

  Доказательство: представим степень в виде произведения, выполним умножение и приведение подобных членов:

  (a — b)³ = (a — b)(a — b)² = (a — b)(a² — 2ab + b²) =

  = a³ — 2a²b + ab² — a²b + 2ab² — b³ = a³ — 3a²b + 3ab² — b³

Неполный квадрат суммы

Выражение:

a² + 2ab + b²

это квадрат суммы, которое также называется полным квадратом суммы, относительно выражения:

a² + ab + b²,

которое называется неполным квадратом суммы.

Неполный квадрат суммы – это сумма квадратов двух чисел и их произведения. Неполный квадрат суммы отличается от полного только произведением чисел, которое не удваивается.

Неполный квадрат разности

Выражение:

a² — 2ab + b²

Это квадрат разности, который также называется полным квадратом разности относительно выражения:

a² — ab + b²,

которое называется неполным квадратом разности. Неполный квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа. Неполный квадрат разности отличается от полного только произведением чисел, которое не удваивается.

Ответы@Mail.Ru: а^2+b^2=(a-b)(a+b)????

a^2 + b^2= a^2 + 2*a*b + b^2

Выражение справа — разность квадратов. a^2 — b^2 = (a-b)(a+b)

это тождество исходим из правой части равенства (a-b)(a+b)=a^2-ab+ab-b^2(сокращаем -ab и +ab(получится 0)) остается a^2-b^2 а не a^2 + b^2

сумма квадратов на произведение НЕ раскладывается. [1] ( a + b )² = a² + 2ab + b² , [2] ( a – b )² = a² – 2ab + b² , [3] ( a + b ) ( a – b ) = a² – b², [4] ( a + b )³ = a³ + 3a² b + 3ab² + b³ , [5] ( a – b )³ = a ³ – 3a² b + 3ab² – b³ , [6] ( a + b )( a² – ab + b² ) = a³ + b³ , [7] ( a – b )( a ² + ab + b² ) = a³ – b³

a^2+b^2=a^2+ab-ab-b^2 a^2+b^2=a^2-b^2 2*b^2=0

a^2+b^2=a^2+ab-ab-b^2 a^2+b^2=a^2-b^2 2*b^2=0

я токое незнаю

а^2+b^2=(a+b)^2-2ab и только так) ) (a-b)(a+b)=a^2-b^2

да формулы сокращённого умножения

нет, это не правильно, ТОЛЬКО: a^2 — b^2 = (a-b)(a+b) обрати внимание на минус между квадратами a и b

Прыжки Виета — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

У этого термина существуют и другие значения, см. Виет.

В математике прыжками Виета (или отражением корней) называется метод доказательства, используемый в теории чисел. Наиболее часто он применяется для задач, в которых дано соотношение между двумя натуральными числами и требуется доказать некоторое связанное с ними утверждение. Существует несколько вариаций метода прыжков Виета, которые так или иначе связаны с общей темой бесконечного спуска, где из данного решения находится новое (меньшее) решение с помощью формул Виета.

Прыжки Виета — это относительно новый метод решения олимпиадных математических задач. Первая такая задача была предложена на 29-й международной математической олимпиаде в 1988 году, причём эта задача считалась наиболее сложной из предложенных на олимпиаде:^[1]

Никто из шести членов австралийской задачной комиссии не смог решить эту задачу. Двое из них — Дьёрдь Секереш и его жена, оба известные решатели и составители задач. Так как это была задача по теории чисел, она была отправлена четырем самым известным австралийским математикам — специалистам в этой области. Им было предложено работать над ней в течение шести часов. Ни один из них не смог решить её за это время. Задачная комиссия представила ее в жюри 29-й ММО, отметив двумя звездочками. Это означало, что задача сверхсложная; возможно даже, слишком сложная для того, чтобы ее предлагать участникам олимпиады. После долгого обсуждения жюри всё-таки отважилось предложить её в качестве последней задачи на олимпиаде. Одиннадцать школьников представили её точные решения.Артур Энгель

Среди одиннадцати школьников, получающих максимальный балл за решение этой задачи, был будущий Филдсовский лауреат Нго Бао Тяу.^[2]

Стандартные прыжки Виета проводят доказательство от противного в три шага:^[3]

1. Предполагается, что существуют числа, связанные данным соотношением, но не удовлетворяющие доказываемому утверждению.
2. Рассматривается минимальное решение (A, B) относительно некоторой функции (например, A + B). Затем исходное соотношение преобразуется в квадратное уравнение с коэффициентами, зависящими от B, и один из корней которого равен A. Используя формулы Виета, находится второй корень этого уравнения.
3. Показывается, что второй корень даёт решение, которое имеет меньшее значение выбранной функции. Таким образом, получается противоречие с минимальностью значения функции на исходном решении, а поэтому предположение из шага 1 является ложным.

Пример

ММО 1988, задача №6. Пусть a и b — положительные целые числа такие, что ab + 1 делит a² + b². Докажите, что a² + b²ab + 1 — это полный квадрат.^[4][5]

1. Пусть k = a² + b²ab + 1. Предположим, что существует какое-то решение, для которого k не является полным квадратом.
2. Для такого значения k, рассмотрим решение (A,B), минимизирующее значение A + B. Без потери общности можно считать, что A ≥ B. Переписывая выражение для k и заменяя A на x, получаем квадратное уравнение x² – (kB)x + (B² – k) = 0. По построению x₁ = A является корнем этого уравнения. По формулам Виета второй корень может быть представлен в виде x₂ = kB – A = B² – kA.
3. Из первого выражения для x₂ следует, что x₂ является целым числом, а из второго — что x₂ ≠ 0. Так как k = x₂² + B²x₂B + 1 > 0, то x₂ является положительным. Наконец, из A ≥ B следует, что x₂ = B² − kA < A и поэтому x₂ + B < A + B, что противоречит минимальности решения (A,B).

Метод непрерывного спуска прыжками Виета используется для доказательства некоторого утверждения о постоянной k, зависящей от соотношения между целыми числами a и b. В отличие от стандартных прыжков Виета, непрерывный спуск не является доказательством от противного и состоит из следующих четырех шагов:^[6]

1. Отдельно рассматривается случай равенства a = b. В дальнейшем предполагается, что a > b.
2. Фиксируются значения b и k. Соотношение между a, b и k приводится к форме квадратного уравнения с коэффициентами зависящими от b и k, одним из корней которого является x₁ = a. Другой корень x₂ определяется с помощью формул Виета. 
3. Показывается, что для всех (a,b) больших некоторых базовых значений, выполняется неравенство 0 < x₂ < b < a, причём x₂ является целым числом. Таким образом, от решения (a,b) можно спуститься к решению (b, x₂) повторять этот процесс, пока не получится решение с базовыми значениями.
4. Утверждение доказывается для базовых значений. Так как k остаётся неизменным в процессе спуска, отсюда следует справедливость доказываемого утверждение для всех упорядоченных пар (a,b).

Пример

Пусть положительные целые числа a и b таковы, что ab делит a² + b² + 1. Требуется доказать, что 3ab= a² + b² + 1.^[7]

1. Если a = b, то a² должно делить 2a² + 1. Откуда a = b = 1 и поэтому 3(1)(1) = 1² + 1² + 1. В дальнейшем без потери общности считаем, что a > b.
2. Пусть k = a² + b² + 1ab. Преобразованием этого равенства и заменой a на x, получаем квадратное уравнение x² − (kb)x + (b² + 1) = 0, одним из корней которого является x₁ = a. По формулам Виета второй корень может быть представлен в виде: x₂ = kb − a = b² + 1a.
3. Первое представление показывает, что x₂ является целым числом, а второе представление, что это число положительно. Неравенство a > b влечёт, что x₂ = b² + 1a < b, если b > 1.
4. Таким образом, базовым случаем является значение b = 1. При этом значение a должно делить a² + 2, и поэтому a равно 1 или 2. Случай a = 1 невозможен, поскольку a ≠ b. В случае a = 2 имеем k = a² + b² + 1ab = 62 = 3. Так как значение k не менялось в процессе спуска, получаем, что a² + b² + 1ab = 3, т.е. 3ab= a² + b² + 1, для всех упорядоченных пар (a,b).

Прыжки Виета могут быть описаны в терминах целых точек на гиперболах в первом квадранте.^[1] При этом процесс нахождения меньшего корня соответствует поиску меньших целых точек на гиперболе в пределах первого квадранта. Этот процесс может быть описан следующим образом:

1. Из данного условия получается уравнение семейства гипербол, которые не изменяются при перестановке x и y местами. Другими словами, эти гиперболы симметричны относительно прямой y = x.
2. Требуемое утверждение доказывается для точек пересечения гипербол и прямой y = x.
3. Предполагается, что (x, y) — целая точка на некоторой гиперболе, причём без потери общности x < y. Тогда по формулам Виета, находится целая точка тем же значением первой координаты на другой ветви гиперболы. Тогда отражением этой точки относительно прямой y = x получается новая целая точка на исходной ветви гиперболы.
4. Показывается, что этот процесс приводит к нахождению меньших точек на той же ветви параболы, пока выполняется определенное условие (например, x = 0). Подставляя это условие в уравнение гиперболы, проверяется, что для него выполняется доказываемое утверждение.

Пример

Применим описанный метод к задаче №6 с ММО 1988: Пусть a и b — положительные целые числа такие, что ab + 1 делит a² + b². Докажите, что a² + b²ab + 1 — это полный квадрат.

1. Пусть a² + b²ab + 1 = q. Зафиксируем значение q и рассмотрим гиперболу H, задаваемую уравнением x² + y² − qxy − q = 0. Тогда (a,b) является точкой на этой гиперболе.
2. Если x = y, то x = y = q = 1, что тривиально удовлетворяет утверждению задачи.
3. Пусть (x, y) — это целая точка на «верхней» ветви гиперболы H с x < y. Тогда из формул Виета следует, что (x, qx − y) — это целая точка на «нижней» ветви гиперболы H. Отражением этой точки является точка (qx − y, x) на исходной «верхней» ветви. У полученной точки вторая координата меньше чем у исходной, а значит она находится ниже исходной точки.
4. Этот процесс может быть повторен. Из уравнения гиперболы H следует, что при этом получаемые точки остаются в пределах первого квадранта. Таким образом, повторение процесса закончится при получении значения x = 0. Его подстановка в уравнение гиперболы H даёт q = y², что и требовалось доказать.

Таблица уровней английского языка ‹ Инглекс

LevelSkill	Speaking Говорение		Reading Чтение	Listening Аудирование	Writing Письмо	Grammar Грамматика	Vocabulary Словарный запас
	Монолог	Диалог
А1 Beginner (Начальный)	Научитесь приветствовать на английском языке, благодарить за услуги. Говорить о себе в 2–3 фразах, отвечать на вопросы в рамках элементарной лексики.	Приветствовать собеседника, участвовать в небольшом диалоге, спрашивать о делах, интересах собеседника, о его семье и профессии, прощаться.	Научитесь читать элементарные предложения (не более 7–9 слов) на основе известной лексики.	Научитесь воспринимать на слух короткие предложения с элементарной лексикой.	Сможете написать свое имя, дату рождения, краткие сведения.	To be Простые WH вопросы Present Simple Past Simple Future Simple Единственное и множественное число существительных	Элементарная лексика, в основном простые существительные, глаголы, прилагательные, местоимения
A1 Elementary (Выше Начального)	Научитесь использовать в речи фразы и выражения для рассказа о себе и семье, о своих предпочтениях в еде, музыке и др.	Сможете обмениваться 2–3 фразами о себе, семье, своем городе. Выражать мнения о том, что нравится. Задавать вопросы касательно интересов собеседника.	Сможете распознавать и понимать знакомые слова и простые фразы (реклама, открытки). Будете читать небольшие тексты и диалоги со знакомой лексикой.	Научитесь понимать на слух самые простые и наиболее часто употребляемые слова и фразы. Понимать слова учителя и короткие инструкции.	Сможете писать короткие поздравительные открытки, письма. Заполнять вопросник о себе (свое имя, национальность, адрес).	Глагол to be WH-questions Present Simple Предлоги in, on, at Be going to Past Simple Irregular Verbs Countable & Uncountable Nouns	≈ 1000–1500 слов About myself (о себе, своей семье, увлечении) About likes/dislikes, routines (о предпочтениях, ежедневных делах)
A2 Pre- Intermediate (Средний начальный)	Сможете рассказать о себе, о работе и досуге несколькими предложениями. Высказывать мнение на основе изученного материала.	Будете принимать участие в небольшом, простом диалоге в типичной ситуации (знакомство с людьми, в магазине и т. д.). Запрашивать информацию о направлении, местонахождении, просить об услуге.	Научитесь читать небольшие тексты с небольшим количеством незнакомой лексики, которая не мешает общему пониманию текста (400–500 слов).	Будете распознавать и понимать на слух числа и диалоги с уже знакомой лексикой. Понимать простые маленькие тексты с минимальным количеством новых слов.	Научитесь писать сообщения или короткие записки, используя уже знакомую лексику, а также привлекая словарь (до 10–15 предложений).	Present Continuous Word Order Past Continuous Future Simple Present Perfect Verb + Ing or to-infinitive Modal Verbs (have to, must) Conditional Sentences (1, 2)	≈ 1500-2000 слов Holiday Celebrities Clothes & Fashion Animals in our lives Sport & Activities People around the world Food & Festivities Health
B1 Intermediate (Средний)	Сможете описывать события или опыт, выражать свое мнение, подкрепляя его примерами, общей длительностью около 2–3 минут.	Сможете принимать участие в спонтанном диалоге во всех типичных ситуациях, включая обмен короткими фразами, выражающими личное отношение к явлению, предмету.	Будете читать тексты любых типов без специальной тематики (писем, эссе, статей), понимать основную идею текста, несмотря на наличие 10% незнакомой лексики.	Сможете в рассказах понимать сюжет, главных героев, их поступки. В диалогах до 2 минут понимать точку зрения говорящих. Понимать особую лексику из контекста.	Сможете писать без особого труда личное письмо или небольшой связный текст с сюжетом (более 20 предложений, без пользования словарем).	Passive Voice Future Forms Present Perfect & Present Perfect Continuous Comparatives & Superlatives Modal Verbs (can, could) Gerund/Infinitive Conditional Clauses	≈ 2000–3000 слов Food & Restaurants Sport Money Transport & Travelling Describing People Education Houses Friendship (people & emotions) Work Cinema Shopping
B2 Upper-Intermediate (Высокий Средний)	Будете выражать свое мнение понятно, детализировано описывать события, развивать и подтверждать свою точку зрения примерами.	Будете общаться с довольно высоким уровнем спонтанности даже с носителями языка. Понимать полностью речь носителей языка и быть способным реагировать во всех типичных ситуациях.	Сможете читать с почти полным пониманием тематические статьи и отчеты, художественные тексты на неадаптированном английском языке.	Будете воспринимать относительно свободно длинные тексты на слух на стандартном английском, например, радиопередачи, интервью.	Писать детальные и доступные для понимания тексты на широкий диапазон тем. Писать сочинения и статьи на разные темы. Знакомство со стилями письма (формальный и неформальный).	Mixed Conditionals Modal Verbs Gerund or Infinitive Повторение: Question Formation Present Tenses Past Tenses Future Tenses Phrasal Verbs	≈ 3000-4000 слов Illness & Treatment Clothes & Fashion Air travel Crime & Punishment Feelings & Emotions The body
C1 Advanced (Продвинутый)	Будете выражать свое мнение на свободную тему спонтанно, используя сложные грамматические структуры, синонимы.	Будете осуществлять коммуникацию в любой ситуации с носителями языка, прибегая к аргументированным ответам.	Будете читать неадаптированные статьи и тексты на английском языке с полным пониманием смысла. Осуществлять анализ прочитанной литературы.	Сможете воспринимать длинные отрывки, в том числе на не стандартном английском языке (особые акценты, наречия) с полным пониманием услышанного.	Сможете осуществлять бизнес-переписку, писать статьи и сочинения на любую заданную тему, используя продвинутую грамматику и стилистически окрашенную лексику.	The Past: narrative tenses, used to & would Stylistic Inversion Inversion in Conditionals Causative Form	≈ 4000-6000 слов Work Emotions Environment Health & Sport Politics Travelling Education & ways of learning Technology & Progress Aspects of Culture
C2 Proficient (Профессиональный)	Выражать свое мнение свободно, без подготовки на любую тему, даже на узкоориентированную (медицина, юриспруденция).	Сможете участвовать в любом диалоге или обсуждении без проблем, используя идиомы и стилистические фигуры речи.	Читать без усилий любой текст, будь то отрывок из художественного произведения или научно-популярная статья.	Сможете понимать разговорный язык без проблем, даже если говорят очень быстро. Сможете воспринимать любые аудио программы на английском языке.	Без подготовки свободно письменно излагать свои мысли на заданную тему, проанализировав предварительно информацию. Писать в любом стиле (формальный и неформальный).	Закрепление отработка сложных грамматических структур. Особенности употребления фразеологических оборотов.	People & Relations Cinema & Television Advertisement & consumers Preventing & punishing crime City life Sport The mind & unconscious Work & future