Математика с нуля. Пошаговое изучение математики
«Математика с нуля. Пошаговое изучение математики для начинающих» – это новый проект, предназначенный для людей, которые хотят изучить математику самостоятельно с нуля.
Сразу скажем, здесь нет лёгких решений и таких заявлений как «Купи эту книгу и сдай математику на 5» или «Освой математику за 12 часов» вы тут не увидите. Математика довольно большая наука, которую следует осваивать последовательно и очень медленно.
Сайт представляет собой уроки по математике, которые упорядочены по принципу «от простого к сложному». Каждый урок затрагивает одну или несколько тем из математики. Уроки разбиты на шаги. Начинать изучение следует с первого шага, и так далее по возрастанию.
Каждый изученный урок должен быть понятным. Поэтому, не поняв одного урока, нельзя переходить к следующему, поскольку каждый урок в математике основан на понимании предыдущего. Если вы с первого раза урок не поняли – не расстраивайтесь. Некоторые люди потратили месяцы и годы, чтобы понять хотя бы одну единственную тему. Отчаяние и уныние точно не ваш путь. Читайте, изучайте, пробуйте и снова пробуйте.
Математика хорошо усваивается, когда человек самостоятельно открыв учебник, учит самогó себя. При этом вырабатывается определенная дисциплина, которая очень помогает в будущем. Если вы будете придерживаться принципа «от простого к сложному», то с удивлением обнаружите, что математика не так уж и сложна. Возможно даже она покажется вам интересной и увлекательной.
Что даст вам знание математики? Во-первых, уверенность. Математику знает не каждый, поэтому осознание того, что вы знаете хоть какую-то часть этой серьёзной науки, делает вас особенным. Во-вторых, освоив математику, вы с лёгкостью освоите другие науки и сможете мыслить гораздо шире. Знание математики позволяет овладеть такими профессиями как программист, бухгалтер, экономист. Никто не станет спорить, что эти профессии сегодня очень востребованы.
В общем, дерзай друг!
Желаем тебе удачи в изучении математики!
Новые уроки будут скоро. Оставайся с нами!
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Основные операции
Основные операции, которые используются в математике это сложение, вычитание, умножение и деление. Помимо этих операций существуют ещё и операции отношения, такие как равно (=), больше (>), меньше (<), больше или равно (≥), меньше или равно (≤), не равно (≠).
Вообще, операции можно разделить на два вида:
- операции действия;
- операции отношения.
Операции действия это:
- сложение (+)
- вычитание (-)
- умножение (×)
- деление ( ÷ ).
Операции отношения это:
- равно (=)
- больше (>)
- меньше (<)
- больше или равно (≥)
- меньше или равно (≤)
- не равно (≠).
Начнем с операций отношения. Слово «отношение» говорит само за себя. Примеры из жизни: что-то имеет отношение к чему-то. Папа имеет отношение к маме. Это отношение называют браком:
Примеров отношений множество. Можно сказать, что наш красивый мир, который развивается гармонично, тоже состоит из отношений.
Если пятёрка больше тройки, то мы говорим, что «пятерка больше по отношению к тройке» и записываем как 5 > 3 (читается: пять больше, чем три). Острый угол знака отношения должен быть направлен в сторону меньшего числá. В данном примере число 3 меньше, чем число 5, поэтому острый угол знака отношения направлен в сторону числа 3.
Ещё пример. Число 11 меньше, чем число 15. Эту фразу можно записать так:
11 < 15
В математике с помощью отношений можно записывать законы, формулы, уравнения и функции. Можно записать, что одно выражение равно другому, либо какое-то действие недопустимо по отношению к какому-нибудь объекту, числу, закону.
Например, знаменитая фраза «на ноль делить нельзя» записывается так:
Не будем опережать события и забегать вперёд. Просто скажем, что в этом выражении вместо a и b могут стоять любые числа. Но потом говорится, что b не должно быть равным нулю.
Знак равенства = стáвится между величинами и говорит о том, что эти величины равны между собой.
Например, «пять равно пять» записывается как 5 = 5. Понятно, что две пятерки равны между собой. Помимо простых чисел, знаком равенства могут соединяться более сложные выражения, например: 9 + x + y = 4 + 5 + x + y.
Ещё пример: если один большой арбуз весит 20 кг, а два маленьких арбуза весят по 10 кг каждый, то между арбузом в 20 кг и двумя арбузами по 10 кг можно поставить знак равенства. Это отношение можно прочитать так: «один арбуз весом в 20 килограмм равен весу двух арбузов, каждый из которых весит 10 кг». Ведь 20 кг
Знак не равно ≠ ставится между величинами тогда, когда они не равны между собой.
Например, 5 ≠ 7. Ясно, что пятёрка не равна семёрке. Ещё примеры: отличник не равен двоечнику, собака не равна кошке, мандарин это не апельсин:
отличник ≠ двоечник
собака ≠ кошка
мандарин ≠ апельсин
Вы можете осмотреться вокруг себя и найти множество примеров отношений, которые можно истолковать с точки зрения математики.
Операция сложения
Операция сложения обозначается знаком «плюс» (+) и используется, когда складывают числа.
Числа, которые складывают называются слагаемыми. Число, которое получается в результате их сложения, называется суммой.
Например, сложим числа 3 и 2.
Записываем 3 + 2 = 5
В этом примере 3 − это слагаемое, 2 − второе слагаемое, 5 − сумма.
В будущем придётся складывать довольно большие числа. Но сложение этих больших чисел в конечном итоге будет сводиться к тому, чтобы сложить маленькие.
Поэтому нужно научиться складывать маленькие числа в диапазоне от 0 до 9. Например:
2 + 2 = 4
3 + 4 = 7
7 + 2 = 9
0 + 7 = 7
Можете потренироваться, записав в тетради несколько простых примеров. Поверьте, ничего постыдного в этом нет.
Операция вычитания
Операция вычитания обозначается знаком «минус» (−) и используется когда из одного числа вычитают другое.
Число, из которого вычитают другое число, называется уменьшаемым. Число, которое вычитают из уменьшаемого числа, называется вычитаемым. Число, которое получается в результате, называется разностью.
Например, вычтем из числа 10 число 2.
10 − 2 = 8
В этом примере число 10 − это уменьшаемое, число 2 − вычитаемое, а число 8 − разность.
Операция умножения
Обозначается знаком умножения (×) и используется когда одно число умножается на другое. Слово умножение говорит само за себя — какое-то число увеличивается в определенное количество раз, то есть мнóжится.
Например, запись 4 × 3 означает, что четверка в ходе операции умножения будет увеличена в три раза.
Число, которое увеличивают, называется множимым. Число, которое показывает во сколько раз нужно увеличить множимое, называется множителем. Число, которое получается в результате называется произведением.
Например, умножим число 4 на 3.
4 × 3 = 12
В этом примере 4 − это множимое, 3 − множитель, 12 − произведение.
Запись 4 × 3 можно понимать как «повторить число 4 три раза». Например, если у нас имеются четыре конфеты и мы повторим их три раза, то полýчится двенадцать конфет:
Другими словами, умножение 4 на 3 можно представить как сумму трёх четвёрок:
Умножение можно понимать и другим образом, а именно как взятие чего-то определенное количество раз.
Допустим, в вазе лежат конфеты. Возьмём четыре конфеты один раз:
4 конф. × 1 = 4 конф.
У нас в руках окажется четыре конфеты.
Попробуем взять четыре конфеты 2 раза:
4 конф × 2 = 8 конф.
У нас в руках окажется восемь конфет.
Попробуем взять четыре конфеты ноль раз, то есть ни разу:
4 × 0 = 0
У нас на руках не окажется конфет, поскольку мы ни разу их не взяли. Поэтому умножение любого числа на ноль даёт в ответе ноль.
В некоторых книгах множимое и множитель называют одним общим словом — сомножители. Например, в записи 4 × 3 множимым является 4, а множителем 3, но эти два числа ещё можно назвать сомножителями. Ошибкой это не будет.
В будущем мы будем умножать довольно большие числа. Но умножение больших чисел свóдится к тому, чтобы умножить маленькие. Поэтому сначала нужно научиться умножать маленькие числа. Благо, они уже перемножены и записаны в специальную таблицу, которую называют
Операция деления
Обозначается знаком деления (÷ или : ) и используется когда делят числа.
Число, которое делят называют делимым. Число, которое указывает на сколько частей делят делимое, называется делителем. Число, которое получается в результате, называется частным.
Например, разделим число 10 на 2.
10 : 2 = 5
В этом примере число 10 − это делимое, число 2 − делитель, число 5 − частное.
Если у нас имеются десять конфет и мы разделим их на две равные части, то в каждой части полýчится по пять конфет:
Так можно понять смысл записи 10 : 2 = 5.
Задания для самостоятельного решения
Большинство людей решат эти задания в уме что конечно похвально. Однако, рекомендуется выполнить эти задания именно в тетради, взяв в руку карандаш. К математике следует привыкать посредством решения простых примеров.
Задание 1. Запишите в тетради, что 2 больше, чем 1
Задание 2. Запишите в тетради, что 2 меньше, чем 3
Задание 3. Запишите в тетради, что 5 больше, чем 2
Задание 4. Запишите в тетради, что 8 больше, чем 5
Задание 5. Запишите в тетради, что 10 больше, чем 8
Задание 6. Запишите в тетради, что 1 равно 1
Задание 7. Запишите в тетради, что 10 равно 10
Задание 8. Запишите в тетради, что 7 не равно 8
Задание 9. Запишите в тетради, что 15 не равно 12
Задание 10. Запишите в тетради, что 3 не равно 2
Задание 11. Сложите числа 2 и 3
Задание 12. Сложите числа 7 и 2
Задание 13. Сложите числа 4 и 3
Задание 14. Сложите числа 10 и 5
Задание 15. Сложите числа 12 и 8
Задание 16. Вычесть из числа 5 число 2
Задание 17. Вычесть из числа 9 число 4
Задание 18. Вычесть из числа 10 число 8
Задание 19. Вычесть из числа 12 число 4
Задание 20. Вычесть из числа 20 число 12
Задание 21. Умножьте 2 на 3
Задание 22. Умножьте 3 на 4
Задание 23. Умножьте 5 на 3
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
Навигация по записям
НОД и НОК
Продолжаем изучать деление. В данном уроке мы рассмотрим такие понятия, как НОД и НОК.
НОД — это наибольший общий делитель.
НОК — это наименьшее общее кратное.
Тема довольно скучная, но разобраться в ней нужно обязательно. Не понимая этой темы, не получится эффективно работать с дробями, которые являются настоящей преградой в математике.
Наибольший общий делитель
Определение. Наибольшим общим делителем чисел a и b называется наибольшее число, на которое a и b делятся без остатка.
Чтобы хорошо понять это определение, подставим вместо переменных a и b любые два числа. Например, вместо переменной a подставим число 12, а вместо переменной b — число 9. Теперь попробуем прочитать это определение:
Наибольшим общим делителем чисел 12 и 9 называется наибольшее число, на которое 12 и 9 делятся без остатка.
Из определения понятно, что речь идёт об общем делителе чисел 12 и 9. Причем делитель является наибольшим из всех существующих делителей. Этот наибольший общий делитель (НОД) нужно найти.
Для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел, используется три способа. Первый способ довольно трудоёмкий, но зато позволяет хорошо понять суть темы и прочувствовать весь ее смысл.
Второй и третий способы довольны просты и дают возможность быстро найти НОД. Рассмотрим все три способа. А какой применять на практике — выбирать вам.
Первый способ заключается в поиске всех возможных делителей двух чисел и в выборе наибольшего из них. Рассмотрим этот способ на следующем примере: найти наибольший общий делитель чисел 12 и 9.
Сначала найдём все возможные делители числа 12. Для этого разделим 12 на все делители в диапазоне от 1 до 12. Если делитель позволит разделить 12 без остатка, то мы будем выделять его синим цветом и в скобках делать соответствующее пояснение.
12 : 1 = 12
(12 разделилось на 1 без остатка, значит 1 является делителем числа 12)
12 : 2 = 6
(12 разделилось на 2 без остатка, значит 2 является делителем числа 12)
12 : 3 = 4
(12 разделилось на 3 без остатка, значит 3 является делителем числа 12)
12 : 4 = 3
(12 разделилось на 4 без остатка, значит 4 является делителем числа 12)
12 : 5 = 2 (2 в остатке)
(12 не разделилось на 5 без остатка, значит 5 не является делителем числа 12)
12 : 6 = 2
(12 разделилось на 6 без остатка, значит 6 является делителем числа 12)
12 : 7 = 1 (5 в остатке)
(12 не разделилось на 7 без остатка, значит 7 не является делителем числа 12)
12 : 8 = 1 (4 в остатке)
(12 не разделилось на 8 без остатка, значит 8 не является делителем числа 12)
12 : 9 = 1 (3 в остатке)
(12 не разделилось на 9 без остатка, значит 9 не является делителем числа 12)
12 : 10 = 1 (2 в остатке)
(12 не разделилось на 10 без остатка, значит 10 не является делителем числа 12)
12 : 11 = 1 (1 в остатке)
(12 не разделилось на 11 без остатка, значит 11 не является делителем числа 12)
12 : 12 = 1
(12 разделилось на 12 без остатка, значит 12 является делителем числа 12)
Теперь найдём делители числа 9. Для этого проверим все делители от 1 до 9
9 : 1 = 9
(9 разделилось на 1 без остатка, значит 1 является делителем числа 9)
9 : 2 = 4 (1 в остатке)
(9 не разделилось на 2 без остатка, значит 2 не является делителем числа 9)
9 : 3 = 3
(9 разделилось на 3 без остатка, значит 3 является делителем числа 9)
9 : 4 = 2 (1 в остатке)
(9 не разделилось на 4 без остатка, значит 4 не является делителем числа 9)
9 : 5 = 1 (4 в остатке)
(9 не разделилось на 5 без остатка, значит 5 не является делителем числа 9)
9 : 6 = 1 (3 в остатке)
(9 не разделилось на 6 без остатка, значит 6 не является делителем числа 9)
9 : 7 = 1 (2 в остатке)
(9 не разделилось на 7 без остатка, значит 7 не является делителем числа 9)
9 : 8 = 1 (1 в остатке)
(9 не разделилось на 8 без остатка, значит 8 не является делителем числа 9)
9 : 9 = 1
(9 разделилось на 9 без остатка, значит 9 является делителем числа 9)
Теперь выпишем делители обоих чисел. Числа выделенные синим цветом и являются делителями. Их и выпишем:
Выписав делители, можно сразу определить какой является наибольшим и общим.
Согласно определению, наибольшим общим делителем чисел 12 и 9, является число, на которое 12 и 9 делятся без остатка. Наибольшим и общим делителем чисел 12 и 9 является число 3
И число 12 и число 9 делятся на 3 без остатка:
12 : 3 = 4
9 : 3 = 3
Значит НОД (12 и 9) = 3
Второй способ нахождения НОД
Теперь рассмотрим второй способ нахождения наибольшего общего делителя. Суть данного способа заключается в том, чтобы разложить оба числа на простые множители и перемножить общие из них.
Пример 1. Найти НОД чисел 24 и 18
Сначала разложим оба числа на простые множители:
Теперь перемножим их общие множители. Чтобы не запутаться, общие множители можно подчеркнуть.
Смотрим на разложение числа 24. Первый его множитель это 2. Ищем такой же множитель в разложении числа 18 и видим, что он там тоже есть. Подчеркиваем обе двойки:
Снова смотрим на разложение числа 24. Второй его множитель тоже 2. Ищем такой же множитель в разложении числа 18 и видим, что его там второй раз уже нет. Тогда ничего не подчёркиваем.
Следующая двойка в разложении числа 24 также отсутствует в разложении числа 18.
Переходим к последнему множителю в разложении числа 24. Это множитель 3. Ищем такой же множитель в разложении числа 18 и видим, что там он тоже есть. Подчеркиваем обе тройки:
Итак, общими множителями чисел 24 и 18 являются множители 2 и 3. Чтобы получить НОД, эти множители необходимо перемножить:
2 × 3 = 6
Значит НОД (24 и 18) = 6
Третий способ нахождения НОД
Теперь рассмотрим третий способ нахождения наибольшего общего делителя. Суть данного способа заключается в том, что числа подлежащие поиску наибольшего общего делителя раскладывают на простые множители. Затем из разложения первого числа вычеркивают множители, которые не входят в разложение второго числа. Оставшиеся числа в первом разложении перемножают и получают НОД.
Пример 1. Найти НОД чисел 28 и 16.
В первую очередь, раскладываем числа 28 и 16 на простые множители:
Получили два разложения: и
Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входит семёрка. Её и вычеркнем из первого разложения:
Теперь перемножаем оставшиеся множители и получаем НОД:
Число 4 является наибольшим общим делителем чисел 28 и 16. Оба этих числа делятся на 4 без остатка:
28 : 4 = 7
16 : 4 = 4
НОД (28 и 16) = 4
Пример 2. Найти НОД чисел 100 и 40
Раскладываем на множители число 100
Раскладываем на множители число 40
Получили два разложения: 2 × 2 × 5 × 5 и 2 × 2 × 2 × 5
Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входит одна пятерка (там только одна пятёрка). Её и вычеркнем из первого разложения
Перемножим оставшиеся числа:
Получили ответ 20. Значит число 20 является наибольшим общим делителем чисел 100 и 40. Эти два числа делятся на 20 без остатка:
100 : 20 = 5
40 : 20 = 2
НОД (100 и 40) = 20.
Пример 3. Найти НОД чисел 72 и 128
Раскладываем на множители число 72
Раскладываем на множители число 128
Получили два разложения: 2 × 2 × 2 × 3 × 3 и 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2.
Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входят две тройки (там их вообще нет). Их и вычеркнем из первого разложения:
Перемножим оставшиеся числа:
Получили ответ 8. Значит число 8 является наибольшим общим делителем чисел 72 и 128. Эти два числа делятся на 8 без остатка:
72 : 8 = 9
128 : 8 = 16
НОД (72 и 128) = 8
Нахождение НОД для нескольких чисел
Наибольший общий делитель можно находить и для нескольких чисел, а не только для двух. Для этого числа, подлежащие поиску наибольшего общего делителя, раскладывают на простые множители, затем находят произведение общих простых множителей этих чисел.
Например, найдём НОД для чисел 18, 24 и 36
Разложим на множители число 18
Разложим на множители число 24
Разложим на множители число 36
Получили три разложения:
Теперь найдём и подчеркнём общие множители:
Мы видим, что общие множители для чисел 18, 24 и 36 это множители 2 и 3. Эти множители входят во все три разложения. Перемножив эти множители, мы получим НОД, который ищем:
2 × 3 = 6
Получили ответ 6. Значит число 6 является наибольшим общим делителем чисел 18, 24 и 36. Эти три числа делятся на 6 без остатка:
18 : 6 = 3
24 : 6 = 4
36 : 6 = 6
НОД (18, 24 и 36) = 6
Пример 2. Найти НОД для чисел 12, 24, 36 и 42
Разложим на простые множители каждое число. Затем найдём произведение общих простых множителей.
Разложим на множители число 12
Разложим на множители число 24
Разложим на множители число 36
Разложим на множители число 42
Получили четыре разложения:
Теперь найдём и подчеркнём общие множители:
Мы видим, что общие множители для чисел 12, 24, 36, и 42 это множители 2 и 3. Перемножив эти множители, мы получим НОД, который ищем:
2 × 3 = 6
Получили ответ 6. Значит число 6 является наибольшим общим делителем чисел 12, 24, 36 и 42. Эти числа делятся на 6 без остатка:
12 : 6 = 2
24 : 6 = 4
36 : 6 = 6
42 : 6 = 7
НОД (12, 24 , 36 и 42) = 6
Наименьшее общее кратное
Из предыдущего урока мы знаем, что если какое-то число без остатка разделилось на другое, его называют кратным этого числа.
Оказывается, кратное может быть общим у нескольких чисел. И сейчас нас будет интересовать кратное двух чисел, причем оно должно быть максимально маленьким.
Определение. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел a и b — это наименьшее число, которое кратно a и b. Другими словами, это такое маленькое число, которое делится без остатка на число a и число b.
Определение содержит две переменные a и b. Давайте подставим вместо этих переменных любые два числа. Например, вместо переменной a подставим число 9, а вместо переменной b подставим число 12. Теперь попробуем прочитать определение:
Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 9 и 12 — это наименьшее число, которое кратно 9 и 12. Другими словами, это такое маленькое число, которое делится без остатка на число 9 и на число 12.
Из определения понятно, что наименьшее общее кратное это наименьшее число, которое делится без остатка на 9 и на 12. Это наименьшее общее кратное требуется найти.
Для нахождения наименьшего общего кратного (НОК) можно пользоваться тремя способами. Первый способ заключается в том, что можно выписать первые кратные двух чисел, а затем выбрать среди этих кратных такое число, которое будет общим для обоих чисел и маленьким. Давайте применим этот способ.
В первую очередь, найдем первые кратные для числа 9. Чтобы найти кратные для 9, нужно эту девятку поочерёдно умножить на числа от 1 до 9. Получаемые ответы будут кратными для числа 9.
Итак, начнём. Кратные будем выделять синим цветом:
Теперь находим кратные для числа 12. Для этого поочерёдно умножим число 12 на все числа 1 до 12:
Теперь выпишем кратные обоих чисел:
Теперь найдём общие кратные обоих чисел. Найдя, сразу подчеркнём их:
Общими кратными для чисел 9 и 12 являются кратные 36 и 72. Наименьшим же из них является 36.
Значит наименьшее общее кратное для чисел 9 и 12 это число 36. Данное число делится на 9 и 12 без остатка:
36 : 9 = 4
36 : 12 = 3
НОК (9 и 12) = 36
Второй способ нахождения НОК
Второй способ заключается в том, что числа для которых ищется наименьшее общее кратное раскладываются на простые множители. Затем выписываются множители, входящие в первое разложение, и добавляют недостающие множители из второго разложения. Полученные множители перемножают и получают НОК.
Применим данный способ для предыдущей задачи. Найдём НОК для чисел 9 и 12.
Разложим на множители число 9
Разложим на множители число 12
Выпишем первое разложение:
Теперь допишем множители из второго разложения, которых нет в первом разложении. В первом разложении нет двух двоек. Их и допишем:
Теперь перемножаем эти множители:
Получили ответ 36. Значит наименьшее общее кратное чисел 9 и 12 это число 36. Данное число делится на 9 и 12 без остатка:
36 : 9 = 4
36 : 12 = 3
НОК (9 и 12) = 36
Говоря простым языком, всё сводится к тому, чтобы организовать новое разложение куда входят оба разложения сразу. Разложением первого числа 9 являлись множители 3 и 3, а разложением второго числа 12 являлись множители 2, 2 и 3.
Наша задача состояла в том, чтобы организовать новое разложение куда входило бы разложение числа 9 и разложение числа 12 одновременно. Для этого мы выписали разложение первого числа и дописали туда множители из второго разложения, которых не было в первом разложении. В результате получили новое разложение 3 × 3 × 2 × 2. Нетрудно увидеть воочию, что в него одновременно входят разложение числа 9 и разложение числа 12
Пример 2. Найти НОК чисел 50 и 180
Разложим на множители число 50
Разложим на множители число 180
Выпишем первое разложение:
Теперь допишем множители из второго разложения, которых нет первом разложении. В первом разложении нет ещё одной двойки и двух троек. Их и допишем:
Теперь перемножаем эти множители:
Получили ответ 900. Значит наименьшее общее кратное чисел 50 и 180 это число 900. Данное число делится на 50 и 180 без остатка:
900 : 50 = 18
900 : 180 = 5
НОК (50 и 180) = 900
Пример 3. Найти НОК чисел 8, 15 и 33
Разложим на множители число 8
Разложим на множители число 15
Разложим на множители число 33
Выпишем первое разложение:
Теперь допишем множители из второго и третьего разложения, которых нет первом разложении. Допишем множители 3 и 5 из второго разложения, и множитель 11 из третьего разложения:
Теперь перемножаем эти множители:
Получили ответ 1320. Значит наименьшее общее кратное чисел 8, 15 и 33 это число 1320. Данное число делится на 8, 15 и 33 без остатка:
1320 : 8 = 165
1320 : 15 = 88
1320 : 33 = 40
НОК (8, 15 и 33) = 1320
Третий способ нахождения НОК
Есть и третий способ нахождения наименьшего общего кратного. Он работает при условии, что его ищут для двух чисел и при условии, что уже найден наибольший общий делитель этих чисел.
Данный способ разумнее использовать, когда одновременно нужно найти НОД и НОК двух чисел.
К примеру, пусть требуется найти НОД и НОК чисел 24 и 12. Сначала найдем НОД этих чисел:
Теперь для нахождения наименьшего общего кратного чисел 24 и 12, нужно перемножить эти два числа и полученный результат разделить на их наибольший общий делитель.
Итак, перемножим числа 24 и 12
Разделим полученное число 288 на НОД чисел 24 и 12
Получили ответ 24. Значит наименьшее общее кратное чисел 24 и 12 равно 24
НОК (24 и 12) = 24
Пример 2. Найти НОД и НОК чисел 36 и 48
Найдем НОД чисел 36 и 48
Перемножим числа 36 и 48
Разделим 1728 на НОД чисел 36 и 48
Получили 144. Значит наименьшее общее кратное чисел 36 и 48 равно 144
НОК (36 и 48) = 144
Для проверки можно найти НОК обычным вторым способом, которым мы пользовались ранее. Если мы всё сделали правильно, то должны получить 144
Не расстраивайтесь, если сразу не научитесь находить НОД и НОК. Главное понимать, что это такое и как оно работает. А ошибки вполне естественны на первых порах. Как говорят: «На ошибках учимся».
Задания для самостоятельного решения
Задание 1. Найдите НОД чисел 12 и 16
Решение:
Задание 2. Найдите НОК чисел 12 и 16
Решение:
Задание 3. Найдите НОД чисел 40 и 32
Решение:
Задание 4. Найдите НОК чисел 40 и 32
Решение:
Задание 5. Найдите НОД чисел 54 и 86
Решение:
Задание 6. Найдите НОК чисел 54 и 86
Решение:
Задание 7. Найдите НОД чисел 98 и 35
Решение:
Задание 8. Найдите НОК чисел 98 и 35
Решение:
Задание 9. Найдите НОД чисел 112 и 82
Решение:
Задание 10. Найдите НОК чисел 112 и 82
Решение:
Задание 11. Найдите НОД чисел 24, 48, 64
Решение:
Задание 12. Найдите НОК чисел 24, 48, 64
Решение:
Задание 13. Найдите НОД чисел 18, 48, 96
Решение:
Задание 14. Найдите НОК чисел 18, 48, 96
Решение:
Задание 15. Найдите НОД чисел 28, 24, 76
Решение:
Задание 16. Найдите НОК чисел 28, 24, 76
Решение:
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
Навигация по записям
ГРИГОРИЙ ПЕРЕЛЬМАН (1966)Российский математик, первый доказавший гипотезу француза Пуанкаре — головоломку, которая не поддавалась никому более 100 лет — любому трёхмерному предмету без отверстий путем различных действий, но без разрезаний и склеиваний, можно придать форму шара – трехмерной сферы. Подтвердив гипотезу предельно точными расчётами, превратил её в теорему. |
АНДРЕЙ КОЛМОГОРОВ (1903 —1987)Советский математик, один из основоположников современной теории вероятностей. Им получены фундаментальные результаты в топологии, геометрии, математической логике, в теориях: турбулентности, сложности алгоритмов, информации, меры, множеств, функций, тригонометрических рядов, дифференциальных уравнений и функциональном анализе. |
СОФЬЯ КОВАЛЕВСКАЯ (1850 — 1891)Первая в России женщина – профессор и первая в мире женщина-профессор математики. Открыла третий классический случай разрешимости задачи о вращении твёрдого тела вокруг неподвижной точки. Доказала существование аналитического решения задачи Коши для систем дифференциальных уравнений с частными производными, одна из теорем называется теоремой Коши-Ковалевской. |
ГОТФРИД ЛЕЙБНИЦ (1646 — 1716)Французский математик и физик. Один из основателей математического анализа, теории вероятностей и проективной геометрии, создатель первых образцов счётной техники, автор основного закона гидростатики. Посвятил ряд работ арифметическим рядам и биномиальным коэффициентам. Нашёл общий алгоритм для нахождения признаков делимости чисел. |
ИСААК НЬЮТОН (1642 — 1727)Английский математик, физик и астроном. Основатель современного математического анализа дифференциального и интегрального исчисления, основанные на бесконечно малых. Автор фундаментального труда «Математические начала натуральной философии», в котором он изложил закон всемирного тяготения и три закона механики, ставшие основой классической механики. |
БЛЕЗ ПАСКАЛЬ (1623 — 1662)Французский математик и физик. Один из основателей математического анализа, теории вероятностей и проективной геометрии, создатель первых образцов счётной техники, автор основного закона гидростатики. Посвятил ряд работ арифметическим рядам и биномиальным коэффициентам. Нашёл общий алгоритм для нахождения признаков делимости чисел. |
ПЬЕР ДЕ ФЕРМА (1601 — 1665)Французский математик, один из создателей аналитической геометрии, математического анализа, теории вероятностей и теории чисел. Наиболее известен формулировкой Великой теоремы Ферма. Занимался исследованиями в области теории чисел, геометрии, алгебры, теории вероятностей. В теории чисел дал способ систематического нахождения всех делителей произвольного числа. |
ГИПАТИЯ АЛЕКСАНДРИЙСКАЯ (350—415)Самая известная женщина-учёный Древнего мира, первая в мире женщина-математик. С 20 лет преподавала математику и философию, занималась вычислением астрономических таблиц. Посвятила специальную работу коническим сечениям, ввела термины гипербола, парабола и эллипс, изобрела астролябию и прибор для определения плотности жидкости. |
ПИФАГОР (365-300 до н. э.)Древнегреческий математик и философ. Первый заложил основы математики как науки, основал школу пифагорейцев, вывел метод построения многоугольников и принцип перемножения натуральных чисел — таблицу Пифагора. Ему приписывают открытие теоремы в тригонометрии, но некоторые источники сомневаются в его доказательстве. |
ЕВКЛИД (365-300 до н. э.)Древнегреческий математик, отец геометрии, первый математик александрийской школы. Автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике «Начала», который содержит основы античной математики, элементарной геометрии, теории чисел, общей теории отношений и метода определения площадей и объёмов. |
Зачем нужна математика? Для чего изучать, польза от занятий математикой
Сможете ли вы доступно объяснить ребёнку, для чего ему нужно заниматься математикой? Ведь изучение понятий, законов математики и логики, решение математических и логических задач требует умственных усилий. А зачем вообще это нужно?
Мы изучили ряд научных исследований, и выделили реальные доказательства пользы от занятий математикой.
Даже если вы убеждены, что жизнь вашего ребенка не будет связана с математикой, рекомендуем все равно прочитать нашу статью, чтобы как минимум с легкостью ответить на вопросы маленького «почемучки».
1. Математика развивает мышление
Изучая математику и решая задачи, ребёнок учится:
- обобщать и выделять важное;
- анализировать и систематизировать;
- находить закономерности и устанавливать причинно-следственные связи;
- рассуждать и делать выводы;
- мыслить логически, стратегически и абстрактно.
Как регулярные спортивные тренировки «прокачивают» тело, делают его здоровым, сильным и выносливым, так регулярные занятия математикой «прокачивают» мозг – развивают интеллект и познавательные способности, расширяют кругозор.
Читайте также: В статье «5 причин научиться думать как математик» мы подробно разобрали в чем заключается сила математического мышления и зачем его развивать.
2. Занятия математикой тренируют память
Ученые из Стэнфордского университета в США изучили процесс решения человеком математических задач и выяснили, что взрослые люди используют для этих целей мышление и доведенный до автоматизма навык «доставать» из памяти уже имеющиеся там ответы.
Дети до 7 лет часто прибегают к помощи пальцев рук и ног, а также различных заменителей (реальных предметов, счетных палочек). В «переходный период», в возрасте от 7 до 9 лет, у школьников формируется «взрослый» навык «думания», осмысления и запоминания информации.
Интересное исследование было опубликованно в журнале «Nature Neuroscience» в 2014 году. В первую очередь, оно было посвящено изучению роли гиппокампа (области в головном мозге) в развитии познавательной активности детей. Но его косвенные выводы таковы:
- если хотите, чтобы у ребенка в школе не было проблем с математикой – тренируйте память в раннем возрасте;
- решение математических задач развивает память.
3. Математика закаляет характер
Для правильного решения математических и логических задач нужны внимательность, настойчивость, ответственность, точность и аккуратность.
Чем регулярнее ребенок тренирует эти «мышцы характера», тем сильнее они становятся, тем чаще помогают ребенку в решении не только учебных задач, но и жизненных проблем.
ЛогикЛайк – подходящая платформа для тренировок по 20-60 минут в день. Решайте задачи, участвуйте в олимпиадах по логике и математике, развивайте волю к победе и умение побеждать!
Мы создаём и простые, и олимпиадные задачи, которые хочется решать:
4. Музыка для математики, математика – для музыки
Комплексное исследование, проведенное Барбарой Хелмрич (Barbara H. Helmrich) из Колледжа Нотр-Дам в Балтиморе, выявило, что дети, которые играли на музыкальных инструментах в средней школе, ощутимо лучше успевают по математике в старших классах.
Ученые обнаружили, что за решение алгебраических задач и обработку музыкальной информации отвечает один и тот же участок головного мозга.
«Наибольшая средняя разница в результатах по алгебре между любыми двумя группами испытуемых была обнаружена между афроамериканскими «инструментальными» группами и группами «немузыкальных» школьников».
Парадоксально, но ученые как будто не интересовались обратной связью.
Ведь если за развитие математических и музыкальных способностей отвечает один и тот же участок головного мозга, не исключено, что занятия математикой улучшают музыкальные способности.
Вспоминается Шерлок Холмс, который был одновременно превосходным сыщиком и талантливым скрипачом. Многие скажут, что знаменитый английский сыщик – просто выдумка, но у него был свой реальный прототип, наставник и друг Артура Конана Дойла. Страстным скрипачом был и величайший физик Альберт Эйнштейн.
5. Математика помогает преуспевать в гуманитарных науках
Именно ранние математические способности – верная предпосылка к тому, что в дальнейшем ребенок будет не только хорошо понимать математику, но и преуспевать в других школьных дисциплинах. Далее по значимости вклада в учебные успехи идут навыки чтения и способности управлять своим вниманием.
К таким выводам пришли ученые в области образования и социальной политики Северо-Западного университета в Эванстоне. В ходе исследования они оценивали связь ключевых элементов готовности к школе (базовые навыки для приема в школу — «академическая» готовность, внимание, социально-эмоциональные навыки) с дальнейшими успехами в учебе.
Математика – наука междисциплинарная, она тесно связана с физикой, географией, геологией, химией. Социология и экономика неотделимы от математики, и многие выводы даже привычно гуманитарных наук, таких как лингвистика, журналистика, опираются на математические модели и понятия, математические и логические законы.
6. Развивает навыки решения бытовых задач
Барбара Оакли, доктор технических наук, исследователь стволовых клеток мозга и автор книги «Думай как математик» подчеркивает:
«Математика избавляет нас от «магического мышления» – мы стремимся вникнуть в суть вещей и не полагаемся на авось и высшие силы».
Чем сложнее становятся математические задачи, тем больше навыков требуется для их решения. Ребенок учится рассуждать, выстраивать последовательности, продумывать алгоритмы, жонглировать сразу несколькими понятиями, и эти навыки входят в привычку.
Благодаря математике мы избавляемся от вредных привычек:
- не домысливаем, а оперируем только точными терминами;
- не просто механически запоминаем информацию и правила, а оцениваем ее, анализируем, размышляем, чтобы понять и усвоить новый материал, новый жизненный урок.
7. Математика – основа успешной карьеры
Если 10-15 лет назад перспективным считалось изучение иностранных языков, то сейчас свободным владением несколькими языками никого не удивишь. Теперь профессиональная востребованность во многом зависит от понимания технологий, умения мыслить, абстрагироваться и способностей к решению нестандартных задач. Крайне сложно обойтись без знания математики тем, кто хочет работать в сфере IT.
Абстрактное, критическое и стратегическое мышление, аналитические способности, умение выстраивать алгоритмы – «мастхэв» для хорошего разработчика.
ТОП 5 гибких навыков. Источник: amazonaws.com
Результативные занятия математикой придают уверенность в себе, ведь успехи в ней требуют упорства в стремлении решить самые сложные, иногда, на первый взгляд, «неразрешимые» задачи и проблемы.
Проверьте свои силы: Математические головоломки вам в помощь: 9 отборных известных задач на сообразительность. Сколько сможете решить?
8. Решение задач вырабатывает психологическую стойкость
Решение математических задач помогает улучшить эмоциональный фон – это занятие способно избавить от тревоги, помогает контролировать эмоции и предупреждает стресс.
К таким выводам пришли ученые из Университета Дьюка в США, которые сумели доказать это в исследовании, опубликованном в журнале «Клиническая психология» в 2016 году.
9. Удовольствие от «икс»
Для человека, серьёзно занимающегося математикой, математические формулы, уравнения и другие логические и математические задачи воплощают собой красоту, гармонию и доставляют такое же эстетическое удовольствие, как музыка, искусство и хорошая шутка, утверждает группа исследователей из нескольких университетов Великобритании.
С помощью функциональной магнитно-резонансной томографии была зафиксирована активность мозговой деятельности испытуемых во время демонстрации им математических уравнений, формул и задач. Результаты исследования опубликованы в журнале «Границы человеческой нейробиологии» (Frontiers in Human Neuroscience) в 2014 году.
Как научиться испытывать радость и наслаждение от занятий математикой рассказывает известный американский математик, выпускник Гарвардского университета, Стивен Строгац. Преподаватель прикладной математики, обладатель наград в области математики и преподавания на страницах своей книги «Удовольствие от X» с энтузиазмом, просто и понятно объясняет самые значительные математические идеи.
Попробуйте занятия логикой и математикой на LogicLike.com!
Мы убеждены, что детям, особенно в возрасте 5-9 лет, не обязательно рассказывать, как важно изучать математику. Гораздо важнее дать возможность ребёнку окунуться в мир занимательной интерактивной математики.
Обучаясь на платформе LogicLike, дети решают интересные логические задачи, зарабатывают за правильные ответы свои первые награды-«звезды», играют в современные логические игры – и получают не только пользу, но и настоящее удовольствие от такой математики.
| # | Автор(ы) | Название | Год | Стр. | Загрузить, Mb | ||||
| djvu | ps | html | TeX | ||||||
| 1 | А. И. Маркушевич | Возвратные последовательности. | 1950 | 52 | 0.35 | — | — | — | — |
| 2 | И. П. Натансон | Простейшие задачи на максимум и минимум. | 1950 | 32 | 0.20 | — | — | — | — |
| 3 | И. С. Соминский | Метод математической индукции. | 1965 | 58 | 1.42 | — | — | — | — |
| 4 | А. И. Маркушевич | Замечательные кривые. | 1952 | 32 | 0.28 | — | — | — | — |
| 5 | П. П. Коровкин | Неравенства. | 1966 | 58 | 0.37 | — | — | — | — |
| 6 | Н. Н. Воробьев | Числа Фибоначчи. | 1978 | 144 | 0.95 | — | — | — | — |
| 7 | А. Г. Курош | Алгебраические уравнения произвольных степеней. | 1975 | 32 | 0.33 | — | — | — | — |
| 8 | А. О. Гельфонд | Решение уравнений в целых числах. | 1978 | 63 | 0.43 | — | — | — | — |
| 9 | А. И. Маркушевич | Площади и логарифмы. | 1979 | 64 | 0.45 | — | — | — | — |
| 10 | А. С. Смогоржевский | Метод координат. | 1952 | 40 | 0.47 | — | — | — | — |
| 11 | Я. С. Дубнов | Ошибки в геометрических доказательствах. | 1961 | 70 | 0.66 | — | — | — | — |
| 12 | И. П. Натансон | Суммирование бесконечно малых величин. | 1960 | 58 | 0.31 | — | — | — | — |
| 13 | А. И. Маркушевич | Комплексные числа и конформные отображения. | 1954 | 52 | 0.38 | — | — | — | — |
| 14 | А. И. Фетисов | О доказательствах в геометрии. | 1954 | 60 | 0.36 | — | — | — | — |
| 15 | И. Р. Шафаревич | О решениях уравнений высших степеней. | 1954 | 22 | 0.28 | — | — | — | — |
| 16 | В. Г. Шерватов | Гиперболические функции. | 1954 | 58 | 0.48 | — | — | — | — |
| 17 | В. Г. Болтянский | Что такое дифференцирование? | 1955 | 64 | 0.63 | — | — | — | — |
| 18 | Г. М. Миракьян | Прямой круговой цилиндр. | 1955 | 40 | 0.42 | — | — | — | — |
| 19 | Л. А. Люстерник | Кратчайшие линии. | 1955 | 104 | 0.65 | — | — | — | — |
| 20 | А. М. Лопшиц | Вычисление площадей ориентированных фигур. | 1956 | 60 | 0.43 | — | — | — | — |
интервью с автором проекта Николаем Андреевым
Уже 15 лет все желающие углубиться в математику и понять, как научные принципы работают в реальной жизни, заходят на сайт «Математические Этюды». Мы поговорили с автором проекта, заведующим лаборатории популяризации и пропаганды математики Математического института им. В. А. Стеклова Николаем Андреевым о том, в чем преимущества 3D-графики при иллюстрации задач, реально ли сделать популярное приложение про математику и что нового появилось в «Этюдах» в последнее время.
В этом году вашему проекту исполнилось 15 лет, но, как я понимаю, это не единственная круглая дата в ближайшие месяцы?
Действительно, этой осенью круглых дат у нас много! Если идти в обратном порядке, то в ноябре 2015 года наша книга «Математическая составляющая» стала лауреатом премии «Просветитель», в 2010 году нашему проекту была присуждена Премия Президента РФ в области науки и инноваций для молодых ученых – причем впервые не за научные достижения, а за популяризацию науки. 15 лет назад открылся сайт «Математические этюды», а в декабре 2002 года появился наш первый математический фильм.
Николай Андреев на Международном конгрессе математиков в Рио-де-Жанейро, 2018
То есть, сам проект начался еще в 2002 году, а сайт появился три года спустя?
Да, так и есть. В какой-то момент мне показалось, что о задачах, которыми я занимался в науке, можно красиво и понятно рассказать с использованием 3D-графики. Представления о 3D-графике у меня тогда были только примерные, но было понятно, что это отдельная наука и изучать ее я не готов. Поэтому я кинул клич на интернет-форумах, где обитали специалисты по 3D-графике. Так мы познакомились с мультипликатором Михаилом Калиниченко, с ним мы начали что-то пробовать и, собственно говоря, работаем вместе по сей день. Правда, первые два фильма – про задачу Томсона и про контактное число шаров – я теперь показываю редко, сегодня они кажутся не такими захватывающими. Но в начале 2000-х они очень понравились и учителям, и научному сообществу. Поэтому мы продолжили создавать фильмы, математические расчеты для создания фильма стал делать Никита Панюнин, а в 2005 году совершенно уникальный человек Роман Кокшаров создал нашу полянку с мальчишкой у доски – сайт в интернете.
А где вы показывали этюды, пока у вас не было сайта?
Были лекции, в том числе в школах, на них и демонстрировались фильмы. Это направление очень важно по сей день, сегодня у нас в копилке больше тысячи лекций – вполне себе немаленькая цифра.
Из крупных событий я бы выделил Конгресс по математическому образованию в Копенгагене 2004 года: на нем впервые состоялась национальная презентация России. Туда приехало много российских учителей математики, проходила огромная выставка, читались доклады, в том числе наш про «Математические этюды».
Сегодня для нас 3D-графика – это привычное дело, но в начале 2000-х была совсем другая картина. Почему вам показалось, что именно такая форма будет удачной? Было ли это на тот момент новаторством в России?
И не только в России, но и в международных масштабах. 3D-графика в популяризации науки, действительно, была совершенно уникальной историей, это давало огромный приток посетителей на сайт. Любителей математических этюдов тоже стало больше, потому что таким образом математику еще не объяснял никто. Причем оценили такой подход не только наши пользователи, но и трехмерщики. В России ежегодно проходит крупнейшее мероприятие по 3D-графике – CG Event. И на первом CG Event представили несколько пленарных докладов, среди выступающих был сотрудник студии Pixar, представитель «Базелевса» – компании Тимура Бекмамбетова, который как раз тогда снял «Дозоры», и были мы с докладом по «Математическим этюдам». И даже на трехмерщиков они тогда произвели огромное впечатление.
Сейчас, конечно, 3D-графика стала более привычной, но главное ее преимущество для нас осталось неизменным – с ее помощью можно нарисовать математические картинки по-честному: с нужным соотношением сторон, чтобы развертка правильно разворачивалась и так далее. Сделать это каким-либо еще способом практически невозможно. А в математике честность и правильность нужна во всем, включая рисунки. Например, мы в книжке «Математическая составляющая» убили массу сил на то, чтобы рисунки были действительно честными, и это отдельная наша гордость. В фильмах происходит точно так же.
Вы упомянули, что в проекте собрано более тысячи лекций. А что в принципе сегодня представляют собой «Математические этюды» с точки зрения цифр: сколько заданий, сколько посетителей?
Сейчас на сайте представлено более 60 фильмов, более 30 миниатюр и 30 моделей.
Что касается посещений, в лучшие времена у нас было по 15 000 уникальных посетителей в день, для России и для математического сайта это очень неплохо, сейчас – поменьше. Последние несколько лет мы много работали над книгой и мало обновляли сайт, но надеемся, что новый материал и более активное присутствие в соцсетях не только восстановят, но и прибавят нам посетителей, а самое главное – людей, интересующихся математикой.
Лекция
Вы можете коротко охарактеризовать каждый из основных разделов? Что попадает в «Этюды», что – в «Модели» или «Миниатюры»?
«Этюды» – это фильмы о различных математических задачах, решенных и нерешенных, а также о приложениях математики, например, в технике. Один из таких культовых фильмов – о том, как поворачивают поезда метро и железнодорожные составы. Все мы пользуемся транспортом, но далеко не все задумывались, что при повороте радиус внешнего рельса больше, чем радиус внутреннего. Соответственно, путь, которое проходит внешнее колесо, больше, чем путь, которое проходит внутреннее. А между тем колеса вращаются с одной и той же скоростью, они сидят на единой оси! Оказывается, что проблему помогает решить геометрия.
«Миниатюры» – это совсем маленькие зарисовки, тем не менее они ничуть не менее интересны. Обычно они посвящены какому-то конкретному математическому факту. Например, у нас много миниатюр про используемые в школе понятия вроде параболы, гиперболы, они полезны для учителей, которые показывают их на уроках математики. При этом среди миниатюр есть сюжеты, которые по-новому раскрывают даже такие привычные понятия, как та же парабола: например, сюжет про параболическое решето.
В разделе «Модели» мы хотим собрать электронную энциклопедию всех идей, которые иллюстрируют математические факты и теоремы в реальном физическом мире. Мне это кажется ценным, потому что у нас пока нет хороших музеев науки, и даже в имеющихся математические отделы очень маленькие: сложно придумать модель, в которой как-то показывается математический факт. Сейчас на рабочей версии сайта собрано больше 400 таких моделей, постепенно мы будем выкладывать их в открытый доступ.
По какому принципу сегодня отбирается материал, который попадает на сайт?
На самом деле, не так много нетривиальных математических сюжетов, о которых еще не шла речь в классических книгах. Одна из наших целей – находить и представлять такие сюжеты. И если возникает идея, что какой-то из них можно представить и он будет интересен, то мы начинаем над ним работать. Когда первый вариант фильма готов, мы его показываем на лекциях, обкатываем, смотрим на реакцию, иногда чуть-чуть поправляем, и потом уже он появляется на сайте. Наша лаборатория популяризации и пропаганды математики существует в центральном математическом месте нашей страны – в Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН. К нам заходит почти весь институт, все понимают, что наша деятельность важна, делятся своими мыслями. Соответственно, мы можем черпать идеи с переднего края науки, получать их из первых рук, от людей, которые занимаются данной темой. Благодаря этому получается интересно, качественно и неизбито.
Вы говорите, что у вас в «Этюдах» представлены как решенные, так и нерешенные задачи. Бывало ли такое, что вы публиковали задачу, а потом ее кто-то решал?
Пока нет, но некоторые продвижения в решении подобных задач были. Мы не стесняемся дописывать опубликованные тексты, дополнять их комментариями. Но случая, чтобы приходилось прямо переделывать фильм, не было.
При этом мы выбираем задачи, формулировки которых понятны школьникам и широкой общественности. Интересно, что даже среди них есть такие, которые математики не умеют решать! И тут важно демонстрировать школьникам, что на их век еще что-то осталось, потому что многие воспринимают математику как науку времен Пифагора, в которой ничего нового уже не найдешь. Задача «Математических этюдов» – изменить их мнение, помочь полюбить математику. Потому что, конечно, научить математике никакой сайт не может, он может только вдохновить школьника: возможно, после он в книжках пороется, а главное, поработает сам – в математике это основное. Вторая важная задача – это дать учителям хороший по качеству материал для работы с детьми.
Как бы вы посоветовали выстроить свою работу с сайтом школьнику, который готовится к олимпиаде?
Мы не различаем школьников, которые готовятся к олимпиаде, к ЕГЭ и так далее. Наш подход в том, что человек должен обладать математическими знаниями и общей математической культурой. И если это будет, то дальше уже приложится и участие в олимпиадах, и большие баллы на ЕГЭ. Но все-таки, например, международные олимпиады – это сейчас некий спорт, а мы скорее рассчитаны на широкую аудиторию, для которой важнее общее знание математики, а не конкретных олимпиадных приемов. При этом мы стараемся делать фильмы многослойными, чтобы посетитель любого уровня в любом случае узнал что-то новое и интересное. Кто-то просто картинку посмотрит, а кто-то поймет, какая теорема за ней стоит.
И как я понимаю, у вас в каждом разделе есть ссылки на книги, чтобы можно было не только посмотреть, но и дополнительно почитать.
Сегодня далеко не все дети открывали книжку, например, «Прямые и кривые» Васильева и Гутенмахера, а это одна из лучших книг про конические сечения, про параболу, гиперболу, эллипс. С одной стороны, это достаточно стандартная рекомендация, с другой – ссылка не помешает: кто-то о ней узнает и прочитает. Это еще одна цель нашего проекта – стать проводником между современным обществом и тем пластом потрясающей литературы, которая была опубликована в советское время: рассказать про книжку, показать из нее какой-нибудь красивый сюжет, чтобы человек обратил на нее внимание. А в книге «Математическая составляющая» мы даже сделали раздел «Книжная полка».
У проекта есть версии на английском, французском, итальянском. Насколько он популярен среди ваших заграничных коллег? Может быть, у вас есть планы дальнейшего расширения?
Планы есть, правда, пока с переводами была большая проблема, и сайты на других языках содержат существенно меньше материала, чем русская версия. Но показательно, что на последнем международном математическом конгрессе в Рио-де-Жанейро в 2018 году нам дали приглашенный доклад на секции по популяризации математики, мы показывали там свои фильмы, то есть в мире сайт известен. По статистике мы тоже видим, что посетители приходят из разных стран, но их пока не так много. Мы будем исправлять положение: сейчас почти весь наш материал перевела на английский Татьяна Блинкова, и мы постепенно будем выкладывать его на сайте. Надеемся, что после этого пользователей по всему миру будет еще больше.
Николай Андреев на Международном конгрессе математиков в Рио-де-Жанейро, 2018
Помимо этюдов, моделей и миниатюр у вас еще есть раздел iMath с рекомендациями математических приложений. Как меняется популяризация математики с развитием технологий?
Опыт создания программ для айфонов был любопытным: одно из наших приложений – «В уме» – «выстрелило» очень сильно и больше недели держалось в топе всех приложений в России. Идея с приложениями, на самом деле, удачная, сейчас она временно подзаглохла, потому что особого финансирования у нас никогда не было, и все идет от энтузиазма отдельных людей: в частности, эту программу и все наши первые версии программ писал Антон Фонарев, тогда он был студентом, потом — аспирантом, а сейчас уже серьезный математик, который работает в нашем институте. Приложения – это мощный инструмент. Если современная молодежь любит пользоваться приложениями, давайте будем математику рассказывать таким способом. При популяризации науку нельзя подстраивать под общество, понижая планку: тогда это будет уже не наука. А технологии популяризации, конечно же, подстраивать стоит, и приложения стали для нас интересным открытием.
То есть, вам бы хотелось продолжить работать и в такой форме?
Конечно! Мы обязательно возобновим это дело, когда появится человек, который сможет им заняться.
В завершении хочу спросить: с чего начинать, если ты первый раз на сайте «Математических этюдов»?
С главной страницы! На ней собраны те этюды, с которых стоит начать. Приходите на наш сайт, подписывайтесь на нас в Фейсбуке и ВКонтакте – так вам будет проще за нами следить. Сейчас мы объявили новый проект – «Математические вторники», и каждую неделю будем выкладывать туда что-то новенькое с комментариями, байками и рассказами. Приятного общения с математикой!
Что такое математика? | Живая наука
Математика — это наука, которая занимается логикой формы, количества и расположения. Математика окружает нас повсюду, во всем, что мы делаем. Это строительный материал для всего в нашей повседневной жизни, включая мобильные устройства, архитектуру (древнюю и современную), искусство, деньги, инженерное дело и даже спорт.
С самого начала записанной истории математические открытия были в авангарде каждого цивилизованного общества и использовались даже в самых примитивных культурах.Потребности в математике возникли на основе потребностей общества. Чем сложнее общество, тем сложнее математические потребности. Первобытным племенам требовалось немного больше, чем умение считать, но они также полагались на математику для расчета положения солнца и физики охоты.
История математики
Несколько цивилизаций — в Китае, Индии, Египте, Центральной Америке и Месопотамии — внесли свой вклад в математику, которую мы знаем сегодня. Шумеры были первыми, кто разработал систему счета.Математики разработали арифметику, которая включает в себя основные операции, умножение, дроби и квадратные корни. Система шумеров перешла через Аккадскую империю к вавилонянам около 300 г. до н. Э. Шестьсот лет спустя в Америке майя разработали сложные календарные системы и были опытными астрономами. Примерно в это же время была разработана концепция нуля.
По мере развития цивилизаций математики начали работать с геометрией, которая вычисляет площади и объемы для выполнения угловых измерений и имеет множество практических приложений.Геометрия используется во всем: от домашнего строительства до моды и дизайна интерьера.
Геометрия идет рука об руку с алгеброй, изобретенной в девятом веке персидским математиком Мухаммедом ибн-Мусой аль-Ховаризми. Он также разработал быстрые методы умножения и погружения чисел, известные как алгоритмы — искажение его имени.
Алгебра предложила цивилизациям способ делить наследство и распределять ресурсы. Изучение алгебры означало, что математики решали линейные уравнения и системы, а также квадратики и копались в положительных и отрицательных решениях.Математики в древности тоже начали интересоваться теорией чисел. У истоков построения формы теория чисел изучает фигуральные числа, характеризацию чисел и теоремы.
Математика и греки
Изучение математики в ранних цивилизациях было строительным материалом для математики греков, которые разработали модель абстрактной математики через геометрию. Греция с ее невероятной архитектурой и сложной системой управления была образцом математических достижений до наших дней.Греческие математики были разделены на несколько школ:
- Ионическая школа , основанная Фалесом, которому часто приписывают первые дедуктивные доказательства и разработку пяти основных теорем плоской геометрии.
- Школа Пифагора , основанная Пифагором, который изучал пропорции, плоскую и твердотельную геометрию, а также теорию чисел.
- Элейская школа , в которую входил Зенон Элейский, известный своими четырьмя парадоксами.
- Школа софистов , которая предлагает высшее образование в развитых греческих городах.Софисты давали инструкции по публичным дебатам, используя абстрактные рассуждения.
- Платоническая школа , основанная Платоном, который поощрял исследования в области математики в среде, очень похожей на современный университет.
- Школа Евдокса , основанная Евдоксом, который разработал теорию пропорций и величин и произвел множество теорем в плоской геометрии
- Школа Аристотеля , также известная как Лицей, была основана Аристотелем и последовала за ней. Платоническая школа.
Помимо перечисленных выше греческих математиков, многие греки оставили неизгладимый след в истории математики. Архимед, Аполлоний, Диофант, Папп и Евклид пришли из этой эпохи. Чтобы лучше понять последовательность и влияние этих математиков друг на друга, посетите эту временную шкалу.
В это время математики начали работать с тригонометрией. Вычислительная природа тригонометрии требует измерения углов и вычисления тригонометрических функций, в том числе синуса, косинуса, тангенса и их обратных величин.Тригонометрия основана на синтетической геометрии, разработанной греческими математиками, такими как Евклид. Например, теорема Птолемея дает правила для хорд суммы и разности углов, которые соответствуют формулам суммы и разности для синусов и косинусов. В прошлых культурах тригонометрия применялась к астрономии и вычислению углов на небесной сфере.
После падения Рима развитие математики взяли на себя арабы, а затем европейцы. Фибоначчи был одним из первых европейских математиков и прославился своими теориями по арифметике, алгебре и геометрии.Эпоха Возрождения привела к развитию десятичных дробей, логарифмов и проективной геометрии. Теория чисел была значительно расширена, а теории вероятностей и аналитическая геометрия открыли новую эру математики с расчетом на переднем крае.
Развитие математического анализа
В 17 веке Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц независимо друг от друга разработали основы математического анализа. Развитие математического анализа прошло три периода: ожидание, развитие и строгость.На этапе ожидания математики пытались использовать методы, включающие бесконечные процессы, чтобы найти области под кривыми или максимизировать определенные качества. На стадии разработки Ньютон и Лейбниц объединили эти методы через производную и интеграл. Хотя их методы не всегда были логически обоснованными, математики в XVIII веке начали этап ригоризации и смогли обосновать их и создать заключительный этап исчисления. Сегодня мы определяем производную и интеграл в терминах пределов.
В отличие от исчисления, которое представляет собой тип непрерывной математики, другие математики придерживаются более теоретического подхода. Дискретная математика — это раздел математики, который имеет дело с объектами, которые могут принимать только отдельные, отдельные значения. Дискретные объекты можно охарактеризовать целыми числами, тогда как непрерывные объекты требуют вещественных чисел. Дискретная математика — это математический язык информатики, поскольку он включает изучение алгоритмов. Области дискретной математики включают комбинаторику, теорию графов и теорию вычислений.
Люди часто задаются вопросом, чем сегодня служат релевантные математики. В современном мире математика, такая как прикладная математика, не только актуальна, но и крайне важна. Прикладная математика — это разделы математики, которые занимаются изучением физического, биологического или социологического мира. Идея прикладной математики состоит в том, чтобы создать группу методов, решающих научные задачи. Современные области прикладной математики включают математическую физику, математическую биологию, теорию управления, аэрокосмическую инженерию и математические финансы.Прикладная математика не только решает задачи, но также обнаруживает новые проблемы или развивает новые инженерные дисциплины. Прикладным математикам требуется опыт во многих областях математики и естествознания, физической интуиции, здравого смысла и сотрудничества. Общий подход в прикладной математике состоит в построении математической модели явления, решении модели и разработке рекомендаций по повышению производительности.
Хотя чистая математика не обязательно противоположна прикладной математике, ее движут абстрактные проблемы, а не проблемы реального мира.Многое из того, чем занимаются чистые математики, может быть связано с конкретными физическими проблемами, но более глубокое понимание этих явлений порождает проблемы и технические детали. Эти абстрактные проблемы и технические детали и есть то, что пытается решить чистая математика, и эти попытки привели к крупным открытиям для человечества, включая универсальную машину Тьюринга, теоретизированную Аланом Тьюрингом в 1937 году. Универсальная машина Тьюринга, которая зародилась как абстрактная идея, позже заложил основу для развития современного компьютера.Чистая математика абстрактна и теоретически основана, и поэтому не ограничена физическим миром.
По словам одного чистого математика, чистые математики доказывают теоремы, а прикладные математики строят теории. Чистое и прикладное не исключают друг друга, но они уходят корнями в разные области математики и решения задач. Хотя сложная математика, используемая в чистой и прикладной математике, находится за пределами понимания большинства среднестатистических американцев, решения, выработанные на основе этих процессов, повлияли на жизнь всех и улучшили ее.
Эта ошеломляющая карта объясняет, как все взаимосвязано в математике
Если вы не были профессионалом в математике в старшей школе, у вас, вероятно, есть лишь смутные воспоминания о таких вещах, как геометрия, алгебра и какой-то парень по имени Равнобедренный (какое отличное имя).
И это отстой, потому что математика — один из самых увлекательных языков, которые когда-либо изобретало человечество, но без опыта университетского уровня вам будет очень трудно понять, как такие вещи, как теория хаоса и фрактальная геометрия увязать с машинным обучением и всеми этими сумасшедшими простыми числами, которые мы постоянно находим.
Введите YouTuber Доминик Валлиман, который в декабре прошлого года представил эту невероятную карту физики, а теперь вернулся, чтобы помочь нам найти — или вернуть — страсть ко всем вещам, связанным с числами.
«Математика, которую мы изучаем в школе, не совсем соответствует области математики — мы можем лишь мельком увидеть ее часть, но математика в целом — огромный и удивительно разнообразный предмет», — говорит Валлиман в своей статье. видео ниже.
Чтобы ориентироваться в этой сложной и разрушительной Карте математики, лучше всего начать с середины, где оранжево-коричневый кружок показывает истоки человеческого интереса к тому, как числа объясняют нашу Вселенную:
У нас есть два основные разделы, которые представляют две основные области современной математики — чистую математику (понимание самого языка чисел) и прикладную математику (как этот язык можно использовать для решения реальных задач).
Вы можете повозиться и скачать здесь масштабируемую версию с высоким разрешением и распечатать ее здесь на декоративной подушке, потому что всем нам нужно на что-то смотреть на диване, когда Taboo становится слишком странным.
Чтобы полностью оценить карту математики Валлимана, вам обязательно нужно посмотреть видео ниже, чтобы получить правильное пошаговое руководство.
Все эти названия вещей — топология, комплексный анализ и дифференциальная геометрия — могут показаться вам сейчас не очень интересными, но вскоре вы узнаете, что они на самом деле просто описывают формы вещей в нашей Вселенной и то, как эти изменения форм во времени и пространстве объясняются такими вещами, как математический анализ и теория хаоса.
Теперь, когда вы разобрались с самыми сложными теоретическими знаниями, переходим к прикладной математике, которая применяется к дисциплинам физики, химии и биологии, где системы счисления являются неотъемлемой частью понимания того, как Вселенная и все в ней ведет себя.
У вас также есть инженерия, экономика, теория игр, вероятность, криптография и информатика — всего этого просто не существовало бы, если бы наши очень хитрые предки не заложили для нас основы слежения за числами столетия назад.
Что это? Математика применима буквально ко всему в жизни и во Вселенной? [Внутреннее одобрение учителей математики усиливается]
Если все это кажется вам слишком простым, не волнуйтесь, на этой карте есть нечто большее, чем просто чистая и прикладная математика.
Он даже раскрывает то, что может быть самой большой загадкой всей дисциплины — как исследователи, изучающие основы математики, не смогли найти полный набор фундаментальных правил, называемых аксиомами, которые доказуемо согласованы во всех укромных уголках математической науки. Вселенная.
Посмотрите видео ниже и отправляйтесь сюда, если вы пропустили Карту физики Валлимана.
20 интересных фактов о математике | Блог
Если бы вы сыграли в игру словесных ассоциаций с ребенком школьного возраста, вряд ли вы получите ответ «круто», когда вы спросите их, какое слово впервые пришло им в голову, когда вы сказали «математика». Несмотря на то, что некоторые люди могут вам сказать, математика далеко не скучная. Напротив, существует множество забавных и странных математических фактов, которые очаруют детей всех возрастов.Чтобы доказать это, мы составили список из 20 интересных фактов о математике, которыми мы призываем вас поделиться с детьми в своей жизни.
1. Слово «сотня» происходит от древнескандинавского термина «хундрат», что на самом деле означает 120, а не 100.
2. В комнате из 23 человек вероятность того, что у двух человек один день рождения, составляет 50%.
3. Большинство математических символов были изобретены только в 16 веке. До этого уравнения записывались на словах.
4. «Сорок» — единственное число, которое пишется буквами, расположенными в алфавитном порядке.
5. И наоборот, «один» — это единственное число, которое пишется буквами, расположенными в порядке убывания.
6. От 0 до 1000 единственное число, в котором есть буква «а», — «одна тысяча».
7. «Четыре» — единственное число на английском языке, которое пишется с тем же количеством букв, что и само число.
8. В каждом нечетном числе стоит буква «е».
9. Причина, по которой американцы называют математику «математикой», заключается в том, что они утверждают, что «математика» функционирует как существительное в единственном числе, поэтому «математика» также должна быть в единственном числе.
10. Отметки на костях животных указывают на то, что люди занимались математикой примерно с 30 000 лет до нашей эры.
11. «Одиннадцать плюс два» — это анаграмма «двенадцать плюс один», которая очень подходит, поскольку ответ на оба уравнения — 13.
12. Кроме того, в словах «одиннадцать плюс два» и «двенадцать плюс один» 13 букв.
13. Ноль не обозначается римскими цифрами.
14. Слово «математика» встречается только в одной шекспировской пьесе «Укрощение строптивой».
15 . -40 ° C равно -40 ° F.
16. Во Франции круговую диаграмму иногда называют «камамбером».
17. Символ деления (т.е. ÷) называется обелусом.
18. 2 и 5 — единственные простые числа, заканчивающиеся на 2 или 5.
19. Момент — это фактическая единица времени. Это означает 1/100 секунды.
20. Если вы правильно перетасовываете колоду карт, более чем вероятно, что точный порядок карт, которые вы получаете, никогда раньше не наблюдался за всю историю вселенной.
Вау, после того, как мы услышали эти факты о математике, мы уверены, что молодой человек в вашей жизни больше не будет думать, что этот предмет «неаккуратный».Тем не менее, если вы ищете дополнительный инструмент, который поможет вашему ребенку заниматься математикой, вам следует обратиться к нашему удостоенному множества наград онлайн-репетитору по математике Maths-Whiz. С помощью обучающих математических игр и индивидуальных уроков было обнаружено, что учащиеся, использующие Maths-Whiz в течение 60 минут в неделю, увеличивают свой возраст Maths Age ™ в среднем на 18 месяцев в первый год использования. * Чтобы узнать больше, закажите бесплатную консультацию сегодня.
* Исследование Whiz Education, проведенное с участием более 12000 студентов и подтвержденное независимыми экспертами, показывает, что дети, которые учатся с Maths-Whiz Tutor в течение 45-60 минут в неделю, увеличивают свой возраст по математике в среднем на 18 месяцев в первый раз. год.
Что значит быть успешным в математике? | Помощь детям в изучении математики
с коэффициентом n 3 , они могут понять многие ситуации, в которых объекты любой формы пропорционально увеличиваются или уменьшаются. (Они могут понять, например, почему чашка на 16 унций, имеющая ту же форму, что и чашка на 8 унций, намного меньше, чем в два раза по высоте.)
Знания, полученные с пониманием, обеспечивают основу для запоминания или реконструкции математических фактов и методов, для решения новых и незнакомых проблем и для генерирования новых знаний.Например, студенты, которые хорошо разбираются в операциях с целыми числами, могут распространить эти концепции и процедуры на операции с десятичными знаками.
«Понимание» также помогает учащимся избежать серьезных ошибок при решении проблем, особенно серьезных. Любой учащийся с хорошим пониманием чисел, который умножает 9,83 и 7,65 и получает за ответ 7 519,95, должен сразу увидеть, что что-то не так. Ответ не может быть больше 10 раз 8 или 80, так как одно число меньше 10, а другое меньше 8.Это рассуждение должно наводить на мысль студенту о том, что десятичная точка была неправильно поставлена.
(2) Вычисления: выполнение математических процедур, таких как сложение, вычитание, умножение и деление чисел гибко, точно, эффективно и надлежащим образом.
Вычислительная техника включает в себя свободное владение процедурами сложения, вычитания, умножения и деления мысленно или с помощью бумаги и карандаша, а также знание того, когда и как использовать эти процедуры надлежащим образом. Хотя слово вычисление подразумевает арифметическую процедуру, в этом документе оно также относится к свободному владению процедурами из других разделов математики, таких как измерение (измерение длины), алгебра (решение уравнений), геометрия (построение подобных фигур) и статистика (графические данные). Свободное владение означает умение выполнять процедуру эффективно, точно и гибко.
Ученикам необходимо быстро и точно вычислить основные числовые комбинации (6 + 7, 17–9, 8 × 4 и т. Д.). Им также необходимо стать точными и эффективными с помощью алгоритмов — пошаговых процедур для сложения, вычитания, умножения и деления многозначных целых чисел, дробей и десятичных знаков, а также для выполнения других вычислений. Например, у всех учащихся должен быть понятный им алгоритм умножения 64 и 37, который является достаточно эффективным и достаточно общим для использования с другими двузначными числами, и который может быть расширен для использования с более крупными числами.
Использование калькуляторов не должно угрожать развитию вычислительных навыков учащихся. Напротив, калькуляторы могут улучшить понимание
Математика — Что такое математика
Зачем изучать математику?
Потому что это весело и может подготовить вас к множеству отличных карьер! Если хочешь решать головоломки и разбираться в вещах, тогда вас может заинтересовать специальность по математике.Кроме того, математические приложения можно найти повсюду, и у них есть большой опыт в этой области. математика может помочь вам в самых разных сферах деятельности.
Разделы ниже предоставляют информацию о карьере в математике и возможностях доступны для наших специальностей математики.
Карьера
Следующие ссылки ведут на страницы с информацией о доступных вакансиях
студентам-математикам.
Американское математическое общество
Американская статистическая ассоциация
Это статистика
Математическая ассоциация Америки
Общество промышленной и прикладной математики (SIAM)
Общество актуариев
Исследования в бакалавриате
Если вы планируете аспирантуру по математике, вам следует подумать об участии
в некоторых исследованиях на бакалавриате.Есть возможности сделать это с профессорами
в нашем отделении или в других учреждениях летом в REU (опыт исследований для
Магистранты). REU обычно длятся от четырех до восьми недель и обычно платят студенту
стипендия.
Понимание математики
Понимание математикиПитер Альфельд, — Кафедра математики, — Колледж наук — Университет Юты
учебное пособие от Питер Альфельд.
Я написал эту страницу для студентов Университет Юты. Кто бы вы ни были, вы можете найти это полезным, и добро пожаловать использовать его, но я собираюсь предположить, что вы такой студент (вероятно, бакалавр), и я иногда притворяюсь Я разговариваю с тобой, пока ты учишься у меня.
Начнем с того, что я задам вам несколько вопросов. Если ты заинтересованы в некоторых предложениях, комментариях и уточнениях, нажмите комментариев. Сделайте это, в частности, если вы ответил «Да!». (Комментируя, я предполагаю вы все-таки сказали «Да!», так что не обижайтесь, если вы не было и просто любопытно.)
- Вы чувствуете себя
- Заблудиться в математике — это естественное положение вещей? Комментарии.
- Что лекции и учебники непонятно? Комментарии.
- Количество материала по любому курсу математики настолько подавляюще, что вы (или кто-либо другой) не мог поглотить его? Комментарии.
- Эта математика — всего лишь набор формулы и теоремы, которые нужно как-то втиснуть в голову? Комментарии.
- Что решение проблем требует сборник трюков, концепция которого была основана на щедрую дозу магии? Комментарии.
- Математические курсы — это просто препятствия, которые нужно преодолеть. креститься как студент бакалавриата? Комментарии.
- Что математика не имеет значения? Комментарии.
- Вы изучаете математику только потому, что это необходимо? Комментарии.
- Вы разочарованы, работая с кучей бессмысленных проблемы, которые все похожи? Комментарии.
- Неужели мысль «Я могу поискать, если придется?» «часто случается с вами? Комментарии.
- Решая поставленные задачи, часто ли вы думаете «Что он хочет от нас делать?»? Комментарии.
- Вы часто просматриваете литература в смутных надеждах найти полезную формулу или теорема? Комментарии.
- Сделайте доказательства, которые вы найдете в своем учебнике или в Вам литература кажется надуманной? Комментарии.
- Вы часто задаетесь вопросом, почему учителя заставляют вас изучать кусок математики, который никогда не мог быть полезный? Комментарии.
- Вы расстроены тем, что учитель настаивает на доказательствах? вместо того, чтобы рассказывать вам, как решать проблемы? Комментарии. >
- Часто ли вы хотите, чтобы ваш учитель приводил больше примеров? Комментарии.
- Когда вы пытаетесь решить проблему, находите ли вы вы часто крутите колеса, надеясь на идея, которая никогда не приходит? Комментарии.
- Вы задаете вопросы в классе? Комментарии.
- Вы продаете учебник после уроков математики? Комментарии.
- Вам сложно подготовиться к экзамену? Комментарии.
- Вы сильно переживаете за свою оценку? Комментарии.
- Вы часто прогуливаете занятия? Комментарии.
- Вы часто рано уходите с занятий? Комментарии.
- Вы часто повторяете курсы? Комментарии.
- Вы обманываете на экзаменах? Комментарии.
Если вы ответите на все эти вопросы убедительно «Нет!» тогда вы не должны больше читать и возвращаться к изучению математики. Я также хотел бы встретиться с вами, пожалуйста, напишите мне по электронной почте! В противном случае я надеюсь, что на этой странице есть что предложить вы (и, конечно, вы все равно можете отправить мне электронное письмо). я считают, что многие студенты борются только с математикой потому что они не знают, что значит понять Математика и как обрести это понимание.
Цель этой страницы — помочь вам научиться подходить к математике более эффективно.
Понимание математики
Вы понимаете часть математики, если можете все из следующих:- Объяснять математические концепции и факты с точки зрения более простые концепции и факты.
- Легко устанавливать логические связи между разными фактами и концепции.
- Узнавайте связь, когда вы что-то встречаете новый (внутри или вне математики), близкий к математику вы понимаете.
- Определите принципы в данной части математика, которая заставляет все работать.(т.е. вы можете видеть сквозь беспорядок.)
Напротив, понимание математики не означает запоминать рецепты, формулы, определения или теоремы.
Ясно, что должна быть какая-то отправная точка для объяснения концепции с точки зрения более простых понятий. Это наблюдение ведет к глубоким и загадочным математическим и философским вопросы, и некоторые люди заставляют думать по этим вопросам.Для наших целей достаточно подумать математики в начальной школе в качестве отправной точки. это достаточно богато и интуитивно понятно.
Все это аккуратно резюмируется в письме, которое Исаак Ньютон написал Натаниэлю Хоусу 25 мая 1694 г.
В те дни люди писали по-другому, очевидно, что » вульгарный механик «может быть мужчиной и» тот, кто умеет рассуждать ловко и рассудительно «может быть женщина, (и один или оба могут быть детьми).
ВотПример: полномочия
для сложных математических построений на более простых математика.
Следующие примеры иллюстрируют разницу между два подхода к пониманию математики, описанные выше.
Пример: преобразование логарифмов.
Пример: решение квадратного уравнения.
Вы не сможете научиться понимать математику из абстрактных принципов и нескольких примеров. Вместо тебя нужно изучать суть математики. я надеюсь что ответы на следующие
Часто задаваемые вопросы
продемонстрирует, как математика должна иметь смысл и построен на логической последовательности, а не на кучке произвольно задуманные правила.
Одной из главных причин, по которой я увлекся математикой, было: определенные концепции и аргументы, которые я нашел особенно красиво и интригующе. Я перечисляю некоторые из них ниже даже если о них не часто спрашивают. Но я Надеюсь, они вам понравятся, и, возможно, вы будете больше заинтересованы математика ради самой себя.
Математические жемчужины
Решение математических задач
Самое важное, что нужно понимать при решении сложных математическая проблема состоит в том, что никто никогда не решает такую проблема с первой попытки.Скорее нужно построить последовательность проблем, которые приводят к проблеме интересуют и решают каждую из них. На каждом шагу опыт получается то, что необходимо или полезно для решения следующая проблема. Другие, только слабо связанные проблемы могут иметь необходимо решить, чтобы получить опыт и понимание.
Студенты (и ученые тоже) часто пренебрегают проверкой своих ответы. Я подозреваю, что главная причина в том, что традиционные и широко используемые методы обучения требуют решения многих похожие проблемы, каждая из которых становится рутинной работой закончился, а не с увлекательной возможностью обучения.В на мой взгляд, каждая проблема должна отличаться и добавлять новую понимание и опыт. Однако удивительно, насколько легко ошибаться. Поэтому крайне важно, чтобы все ответы проверяются на достоверность. Как это сделать конечно зависит от проблемы.
Есть известная книга: Г. Поля «Как решить. «, 2-е изд., Princeton University Press, 1957, ISBN. 0-691-08097-6.Впервые он был опубликован в 1945 году. Это серьезная попытка мастера перенести решение проблемы техники. Щелкните здесь, чтобы просмотреть html-версию резюме Поли.
Главное, что сохраняет математику живой и интересной конечно нерешенных проблем . Множество открытых проблем «важными» с современной точки зрения являются трудно просто понять.Но вот
Примеры простых, но нерешенных проблем
для которых вы можете строить свои собственные предположения. Слово «простой» в этом контексте означает, что проблема легко сформулировать и вопрос легко понять. Это не означает, что проблему легко решить. На самом деле все эти открытые проблемы трудны. (Вот почему они не решены, дело не в том, что никто не пробовал!)
Приобретение математического понимания
Поскольку это предназначено для студентов бакалавриата, более конкретный вопрос в том, как освоить математические понимание, принимая уроки? Но это не значит что уроки — единственный способ чему-то научиться. По факту, они часто плохой путь! Вы учитесь на практике.Например, сомнительно, чтобы у нас были классы программирования в все, большинство людей изучают программирование намного быстрее и с удовольствием выбирая задачу программирования, они интересует и заботится, и решает ее. В в частности, когда вы перестанете учиться, у вас будет приобрел навыки, необходимые для изучения всего, что вам нравится, чтение и общение со сверстниками и экспертами. Это гораздо более увлекательный способ учиться, чем занятия!
Вот несколько предложений относительно работы в классе:
- Всегда стремитесь к тому, чтобы понимал , а не запоминание.
- Если это означает, что вам нужно вернуться, сделайте это! Не надо отложите прояснение того, что вы упустили, потому что все новый будет строить на нем.
- Может быть пугающе столкнуться с 1000-страничным книгу и потратить день на понимание сингла страница. Но это не значит, что вам придется тратить тысячу дней понимания всей книги.В понимая, что на одной странице вы получите опыт, который делает следующую страницу проще, и этот процесс подпитывается сам.
- Прочтите разделы, охваченные в классе , прежде чем вы приходи в класс. Это один из самых полезных способов что вы можете провести свое время, потому что это будет резко повысить эффективность лекции.
- Упражняться.Учитель может посоветовать, поставить можно самостоятельно брать их из учебника или составлять свой собственный. Выберите их по сумме процентов, которые они имеют для вас и степени любопытства, которое они стимулируют в ты. Избегайте попадания в режим, в котором вы делаете большие количество упражнений, которые отличаются только числовые значения, присвоенные некоторым параметрам.
- Всегда проверяйте свои ответы на достоверность.
- Когда вы решаете задачу или следуете новому математическому поток четко формулирует ожидания. Ваш ожидания могут быть оправданы, что вызывает приятное тепло чувство (и вам, вероятно, также следует поискать новое и другая проблема). Но в остальном есть два возможности: вы сделали ошибку, из которой можете выздороветь, теперь, когда вы знаете об этом, или есть что-то действительно новое, что вы можете понять и который вас чему-то научит.Если вы не сформулируете и проверьте ожидания, вы можете упустить эти возможности.
- Найдите одноклассника, который будет работать с вами в команде. Попросите одного из вас объяснить материал другому на регулярно или периодически переключайтесь. Объясняя математику для других — один из лучших способов научиться этому.
- Будьте открыты и внимательны к использованию новых технологий.(Я знаю
вы являетесь, потому что вы читаете эту веб-страницу.) Вы можете
идти отсюда прямо к
вычислительная помощь.
Но не забывайте думать о проблеме и
понимание этого, его решение и его разветвления.
Цели технологии не в том, чтобы избавить вас от
нужно думать, но:
- Чтобы проверить свои ответы.
- Эффективно выполнять рутинные задачи.
- Делать то, что невозможно сделать вручную (например, визуализация больших наборов данных).
- По окончании курса Держите учебник и обращайтесь к нему, когда вам нужно. У вас есть провел так много времени с этой книгой, что ты это знаешь интимно и знаю, как его использовать и где найти информация, которая вам нужна. Небольшая сумма денег, которую вы может получить, продав его, не приближается к компенсируя потерю времени и энергии, которые вы тратите впустую сорвано из-за непонимания конкретной пьесы математики, с которой вы легко заново познакомитесь посоветовавшись со своим старым другом, учебником.Вот более страстный проработка этой темы.
Книги
Меня часто спрашивают, какую книгу использовать для самостоятельного изучения математика. Конечно, существует огромное количество литературы и онлайн информация, но выделяются две книги:- Моя любимая из всех книг, которые я когда-либо читал или изучал иным образом, «Что такое математика» Куранта и Роббинса. Эта книга первая появился в 1943 году и до сих пор издается! Он доступен как недорогая мягкая обложка: Что такое математика? Элементарный подход к идеям и методам Ричарда Куранта и Герберта Роббинса, и обновлен в 1996 году Яном Стюартом.Не вводите в заблуждение термин «элементарно». Книга действительно начинается с начала, но она охватывает огромный диапазон математики и подходит для многих лет чтения и внимательное изучение. Он предназначен для описания духа и содержания математика для серьезных и любопытных, но, возможно, непосвященных, и он настолько близок к совершенству, насколько может быть книга. Оксфордский университет Press, США; 2 издание (18 июля 1996 г.), ISBN-10: 0195105192 и ISBN-13: 978-0195105193.
- Гораздо более новая книга Математика за бортом! (Базовый Математика для взрослых) Часть 1 Колина В.Кларк. Это серьезная и в значительной степени успешная попытка объяснить содержание основы математики всесторонне и подробно для взрослых. Тем более чем любая другая книга такого рода, которую я видел, в том числе многие учебников, это соответствует принципам, изложенным в этих веб- страниц. Первая часть охватывает арифметику, алгебру, геометрию, функции. и графики. Вторая часть посвящена тригонометрии, экспоненциальной и логарифмические функции, статистика и вероятность и «расширенный темы ».Иногда я получаю запросы от людей, спрашивающих для книги, которая поможет им просмотреть или подготовиться к учебе в колледже Алгебра или Исчисление, и это книга, которую я впредь буду рекомендовать. Dog Ear Publishing (26 сентября 2012 г.), ISBN-10: 1457514818 и ISBN-13: 978-1457514814.
14 интересных фактов о математике
Числа — одна из важных частей нашей жизни. От учебы, карьеры, повседневных дел до отношений — все связано с числами.Поэтому математика оказывается важным предметом для студентов. Хотя числа иногда могут быть пугающими, но если выучить их правильно и весело, они могут быть довольно удивительными и крутыми. Чтобы пояснить нашу точку зрения, давайте рассмотрим несколько интересных фактов о математике:
1. Сотня в действительности означает 120
Как бы странно это ни звучало после заголовка, странно интересным является то, что слово «сто» происходит от другого слова «hundrath», что на самом деле означает 120.Не очень логичная вещь для этой логической темы!
Источник: toplearning.com 2. Популярный номер из всех
Что ж, если бы математика была в средней школе, число 7 было бы самым популярным числом. Это по многим причинам, как это «арифметически уникально». Это единственное число, которое нельзя умножить или разделить и при этом оставить в этой группе.
Источник: toplearning.com
3. GOOGLE — это математика
Линия жизни сегодняшнего дня, поисковая система Google — это термин, образованный от слова «гугол», которое представляет собой математический термин для числа 1, за которым следуют 100 нулей, которые отражают бесконечное количество поисковых запросов в Интернете.
Источник: express.co.uk
4. Безумные умножения в математике
Мало что интересно в математике — это то, насколько безумно она сводится к своим функциям. Например, если вы умножите 111 111 111 на 111 111 111, это станет равным 12 345 678 987 654 321. Кажется, что числа повторяются снова и снова.
Источник: express.co.uk
5. Самое важное математическое уравнение
Если вам нужно придумать самый изысканный предмет по математике, используйте это уравнение, в котором есть пять самых важных чисел по математике.i * pi + 1 = 0. Похоже на любовь к математикам.
Источник: kidsworldfun.com, Изображение: quoteslike.com
6. Связь между Шекспиром и математикой
Нет, не поймите меня неправильно, Шекспир был любителем литературы, а не математикой, но единственный раз, когда он включил слово «математика», был в пьесе «Укрощение строптивой».
Источник: kidsworldfun.com
7. Это математика или математика?
Эта дискуссия ведется уже давно.Американцы называют математику «математикой», говоря, что функция одного и того же — существительное единственного числа, и с этой логикой они предпочитают говорить «математика», которая тоже является единственным числом. Но есть люди, которые называют это математикой, но мы не рассматриваем эту часть.
Источник: kidsworldfun.com
8. Ужасно длинный Дивизион
Еще одно безумное применение математики приходит, когда число 1 делится на 998001. Ответ даст вам полную последовательность от 000 до 999 в порядке. Не согласны с нами? Давай, попробуй и будь готов потратить целую… тетрадь (!?)
Источник: kidsworldfun.com
9. В римских цифрах нет нуля
Знаете ли вы, что одно из самых важных чисел, ноль, не представлено римскими цифрами. Произведенное от арабского слова «сифр», оно известно из множества других названий, таких как naught, zip, nil и zilch.
Источник: toplearning.com, Изображение: pinterest
10. История Пи
Математик Уильям Шанкс вычислил значение числа Пи (π), которое составляло 707 знаков, но он ошибся с 528 -й цифрой и с этого момента неправильно вычислял каждую последующую цифру.Следовательно, Пи не дробь, и это делает его иррациональным числом, которое не повторяется и не заканчивается, когда записывается в виде десятичной дроби.
Источник: toplearning.com 11. Волшебное число
Если вы верите в магию, то математика тоже. Число 9 считается магическим числом. Это потому, что если вы умножите число на 9, добавите все цифры к полученному числу, сумма всегда будет равна 9. Мы смеем попробовать это !!
Источник: toplearning.com
12.0 — четное число
Я уверен, что многие из вас не осознавали этого и никогда не отвечали на этот вопрос, но 0 — четное число. Людям сложно мысленно категоризировать это, и поэтому им требуется больше времени, чтобы принять решение.
Источник: express.co.uk
13. Исчисление означает по-гречески камешки
Знаменитый греческий математик Пифагор использовал маленькие камешки для обозначения чисел, работая над математическими уравнениями. Это привело к происхождению слова Calculus, которое по-гречески означает камешки.
Источник: toplearning.com, Изображение: wikipedia
14. Пицца и пирог связаны
Я могу выглядеть как человек, который портит вам пиццу, но вы будете удивлены, узнав, что пицца имеет радиус «z» и высоту «a», и поэтому ее объем равен Pi x z x z x a, что составляет пиццу.