Комбинаторика: основные правила и формулы.

КОМБИНАТОРИКА

Комбинаторика – раздел математики, который изучает задачи выбора и расположения элементов из некоторого основного множества в соответствии с заданными правилами. Формулы и  принципы  комбинаторики  используются  в  теории  вероятностей для подсчета  вероятности  случайных  событий и,  соответственно, получения законов распределения случайных величин. Это,  в  свою  очередь,  позволяет  исследовать  закономерности массовых случайных явлений, что является весьма важным для правильного понимания  статистических  закономерностей, проявляющихся в природе и технике.

 

Правила сложения и умножения в комбинаторике

Правило суммы.  Если два действия А и В взаимно исключают друг друга, причем действие А можно выполнить m способами, а В – n способами, то выполнить одно любое из этих действий (либо А, либо В) можно n + m  способами.

 

Пример 1.

В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить одного дежурного?

Решение

Дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку, т.е. дежурным может быть любой из 16 мальчиков, либо любая из 10 девочек.

По правилу суммы получаем, что одного дежурного можно назначить 16+10=26 способами.

 

Правило произведения.  Пусть требуется выполнить последовательно k действий. Если первое действие можно выполнить n₁ способами, второе действие n₂ способами, третье – n₃ способами и так до k-го действия, которое можно выполнить n_k  способами, то все k действий вместе могут быть выполнены:

способами.

Пример 2.

В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить двух дежурных?

Решение

Первым дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку. Т.к. в классе учится 16 мальчиков и 10 девочек, то назначить первого дежурного можно 16+10=26 способами.

После того, как мы выбрали первого дежурного, второго мы можем выбрать из оставшихся 25 человек, т.е. 25-ю способами.

По теореме умножения двое дежурных могут быть выбраны 26*25=650 способами.

 Сочетания без повторений. Сочетания с повторениями

 Классической задачей комбинаторики является задача о числе сочетаний без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать m из n различных предметов?

Пример 3.

Необходимо выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся различных книг. Сколькими способами можно это сделать?

Решение

Нам из 10 книг нужно выбрать 4, причем порядок выбора не имеет значения. Таким образом, нужно найти число сочетаний из 10 элементов по 4:

.

 Рассмотрим задачу о числе сочетаний с повторениями: имеется по r одинаковых предметов каждого из n различных типов; сколькими способами можно выбрать m () из этих (n*r) предметов?

.

Пример 4.

В кондитерском магазине продавались 4 сорта пирожных: наполеоны, эклеры, песочные и слоеные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?

Решение

Т.к. среди 7 пирожных могут быть пирожные одного сорта, то число способов, которыми можно купить 7 пирожных, определяется числом сочетаний с повторениями из 7 по 4.

.

 Размещения без повторений. Размещения с повторениями

 

Классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n различных предметов?

 

Пример 5.

В некоторой газете 12 страниц. Необходимо на страницах этой газеты поместить четыре фотографии. Сколькими способами можно это сделать, если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии?

Решение.

В  данной  задаче мы не просто выбираем фотографии, а размещаем их на определенных страницах газеты, причем каждая страница газеты должна содержать не более одной фотографии. Таким  образом,  задача сводится к классической задаче об определении числа размещений без повторений из 12 элементов по 4 элемента:

Таким образом, 4 фотографии на 12 страницах можно расположить 11880 способами.

 

Также классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений с повторениями, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n предметов, среди которых есть одинаковые?

Пример 6.

У мальчика остались от набора для настольной игры штампы с цифрами 1, 3 и 7. Он решил с помощью этих штампов нанести на все книги пятизначные номера– составить каталог. Сколько различных пятизначных номеров может составить мальчик?

Решение

Можно  считать,  что  опыт  состоит  в 5-кратном выборе  с возращением одной из 3 цифр (1, 3, 7). Таким образом,  число  пятизначных  номеров  определяется  числом  размещений с повторениями из 3 элементов по 5:

.

 Перестановки без повторений. Перестановки с повторениями

 Классической задачей комбинаторики является задача о числе перестановок без повторения, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно разместить n различных предметов на n различных местах?

Пример 7.

Сколько можно составить четырехбуквенных «слов» из букв слова«брак»?

Решение

Генеральной  совокупностью  являются 4  буквы слова  «брак» (б, р, а, к).

Число  «слов» определяется перестановками этих 4 букв, т. е.

Для случая, когда среди выбираемых n элементов есть одинаковые (выборка с возвращением), задачу о числе перестановок с повторениями можно выразить вопросом: сколькими способами можно переставить n предметов, расположенных на n различных местах, если среди n предметов имеются k различных типов (k < n), т. е. есть одинаковые предметы.

Пример 8.

Сколько разных буквосочетаний можно сделать из букв слова «Миссисипи»?

Решение

Здесь 1 буква  «м», 4 буквы «и», 3 буквы «c» и 1 буква  «п», всего 9 букв. Следовательно, число перестановок с повторениями равно

ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ ПО РАЗДЕЛУ «КОМБИНАТОРИКА»

Введение | Комбинаторика

Зарегистрируйтесь для доступа к 15+ бесплатным курсам по программированию с тренажером

На этом курсе будем изучать комбинаторику — очередной раздел дискретной математики.

Комбинаторика изучает сочетания, перестановки, размещения и перечисления отдельных объектов и множеств. Эта дисциплина помогает глубже понять алгебру, геометрию и теорию вероятностей. Еще без нее не обойтись в генетике, информатике, статистической физике.

В этом уроке мы выясним, что такое комбинаторика и чем она полезна в программировании. Мы познакомимся с базовой терминологией и узнаем об основных инструментах комбинаторики. Эти знания помогут нам погрузиться в новую дисциплину и подготовиться к решению комбинаторных задач.

Что такое комбинаторика

Комбинаторика тесно связана с понятием множество — это набор чисел, переменных или других элементов. Вспомним, как оно выглядит:

Множество: Элементы множества: , и

Из любого множества можно составить разные сочетания — комбинации. В нашем примере множество состоит из трех элементов ( , и ), из которых можно составить шесть трехзначных комбинаций:

Комбинации:

В программировании комбинаторика помогает тестировать программы и анализировать алгоритмы. Она автоматизирует расчеты количества возможных ситуаций. Другими словами, с помощью комбинаторики можно ответить на вопрос: «Сколько комбинаций можно собрать из конкретных элементов и по конкретным правилам?».

Этот вопрос часто встает в реальных задачах программиста, особенно когда речь идет о работе с большими данными или таблицами. Даже с перебором паролей без комбинаторики не справится:

• Представим, что мы создали сайт и выбираем правила, каким должен быть пароль пользователя

• Решили не усложнять жизнь пользователю и поставили такие правила «Пароль должен состоять только из цифр, длина пароля — 4 символа»

• Пока не очевидно, насколько надежным получится такой пароль. Чтобы это понять, надо вычислить, сколько возможно комбинаций. Ответить на этот вопрос помогает комбинаторика

Подобные задачи можно решить с помощью трех методов:

• Комбинаторные формулы

• Динамическое программирование

• Рекурсивные алгоритмы полного или частичного перебора

В этом курсе будем рассматривать решение с помощью комбинаторных формул. Динамическое программирование и рекурсивные алгоритмы перебора подробнее рассмотрены в других курсах Хекслета.

Также в курсе будет еще одна особенность — мы будем уделять внимание разным методам вычисления одного и того же результата. В этом нет ничего необычного, потому что это особенность комбинаторики: задачу можно решать разными способами.

Комбинаторные задачи и инструменты

В этом курсе мы сосредоточимся на трех типах комбинаторных задач:

Тип	Пример
Перечисление	Cколько существует различных структур заданного размера?
Существование	Cуществует ли структура с нужными нам свойствами?
Экстремальные проблемы	Если мы рассматриваем только структуры с определенным свойством, насколько большими мы можем их сделать?

Такие задачи можно решить различными методами. В этом курсе мы рассмотрим следующие комбинаторные инструменты:

Подробнее перечисленные типы и инструменты будем разбирать в отдельных уроках.

А сейчас познакомимся с основными обозначениями, которые будут часто встречаться на курсе. Они помогут легче понимать теорию и проходить практику.

Основные обозначения в комбинаторике

Многие обозначения в комбинаторике нам уже знакомы: они используются в математической логике и теории множеств. Поэтому в этом курсе мы не будем разбирать их подробно, но сосредоточимся на неизвестных понятиях.

Перечислим ключевые понятия для комбинаторики:

	Множество неотрицательных целых чисел
	Конечное множество целых чисел
	Размер множества , количество элементов в нем
	Множество мощности ,то есть множество

Еще одно важное понятие — это семейства множеств (или системы множеств).

Для примера рассмотрим семейство множеств :

Пара , где — конечное множество, а

У разных семейств множеств могут быть разные характеристики, на которые мы должны обращать внимание:

Характеристика	Пример
Семейства множеств с определенными свойствами	Все множества внутри семейства имеют одинаковый размер
Семейства множеств, члены которых имеют определенные пересечения	Никакие два множества внутри семейства не являются непересекающимися
Семейства множеств, замкнутые при определенных операциях	Замкнуто при взятии супермножества — множества, состоящего из множеств. Множество называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки, (например, любой отрезок — замкнутое множество)

Подробнее о множествах и их характеристикам мы говорили в курсе «Теория множеств» — можете обратиться к нему, чтобы освежить знания.

Еще в комбинаторике часто работают с графами, чтобы визуализировать задачу. Разберем, что это такое и как они выглядят.

Графы

Графы — это инструмент, который помогает подсчитывать и перебирать различные комбинации в задаче. Это совокупность точек, которые соединены линиями. Точки называются вершинами или узлами, а линии — ребрами, которые обозначают, какие узлы связаны между собой. Например:

Граф — это пара , где — конечное множество, а — набор подмножеств размера из . Члены — вершины, члены — ребра.

Например, если — ребро, то и — его конечные точки. Мы говорим, что и смежны, и что и инцидентны .

Степень вершины , которая обозначается как — это количество ребер, где — конечная точка. Вершина со степенью называется изолированной.

С помощью графов можно визуализировать задачу, что поможет понять и решить ее легче и быстрее.

Выводы

Открыть доступ

Курсы программирования для новичков и опытных разработчиков. Начните обучение бесплатно

• 130 курсов, 2000+ часов теории
• 1000 практических заданий в браузере
• 360 000 студентов

Электронная почта *

Отправляя форму, вы принимаете «Соглашение об обработке персональных данных» и условия «Оферты», а также соглашаетесь с «Условиями использования»

Наши выпускники работают в компаниях:

Комбинаторика | Подсчет, вероятность и алгоритмы

Комбинаторика

Просмотреть все СМИ

Ключевые люди:

Пол Эрдёш Андрей Окуньков

Похожие темы:

теория графов перестановки и комбинации проблема с ожерельем Теорема обращения Мёбиуса проблема Изинга

Просмотреть весь связанный контент →

комбинаторика , также называемая комбинаторной математикой , область математики, связанная с проблемами выбора, расположения и работы в конечной или дискретной системе. Включена тесно связанная область комбинаторной геометрии.

Одной из основных задач комбинаторики является определение числа возможных конфигураций ( например, графов, планов, массивов) данного типа. Даже когда правила, определяющие конфигурацию, относительно просты, перечисление иногда может представлять огромные трудности. Математику, возможно, придется довольствоваться приближенным ответом или, по крайней мере, хорошей нижней и верхней оценкой.

В математике обычно говорят, что объект «существует», если математический пример удовлетворяет абстрактным свойствам, определяющим этот объект. В этом смысле может быть неочевидно, что существует хотя бы одна конфигурация с определенными заданными свойствами. Эта ситуация порождает проблемы существования и построения. Снова имеется важный класс теорем, гарантирующих существование определенного выбора при соответствующих гипотезах. Помимо их внутреннего интереса, эти теоремы могут быть использованы как теоремы существования в различных комбинаторных задачах.

Наконец, есть проблемы с оптимизацией. Например, функция f , экономическая функция, присваивает числовое значение f ( x ) любой конфигурации x с определенными заданными свойствами. В этом случае проблема состоит в том, чтобы выбрать конфигурацию x ₀ , которая минимизирует f ( x ) или делает его ε = минимальным, то есть для любого числа ε > 0 f ( x ₀ ) ф ( x ) + ε, для всех конфигураций x с указанными свойствами.

Викторина «Британника»

Числа и математика

История

Ранние разработки

Некоторые типы комбинаторных задач привлекали внимание математиков с древних времен. Магические квадраты, например, квадратные массивы чисел со свойством, что строки, столбцы и диагонали в сумме дают одно и то же число, встречаются в И Цзин, китайская книга, датируемая 12 веком до н. э. Биномиальные коэффициенты, или целые коэффициенты в разложении ( a + b ) ⁿ , были известны индийскому математику XII века Бхаскаре, который в своей книге Līlavati («Изящная »), посвященный красивой женщине, дал правила их расчета вместе с наглядными примерами. «Треугольник Паскаля», треугольный массив биномиальных коэффициентов, преподавал персидский философ 13-го века Насир ад-Дин ах-Туси.

На Западе можно считать, что комбинаторика началась в 17 веке с Блеза Паскаля и Пьера де Ферма, оба из Франции, которые открыли многие классические комбинаторные результаты в связи с развитием теории вероятностей. Термин «комбинаторный» впервые был использован в современном математическом смысле немецким философом и математиком Готфридом Вильгельмом Лейбницем в его Dissertatio de Arte Combinatoria («Диссертация о комбинированных искусствах»). Он предвидел применение этой новой дисциплины ко всему спектру наук. Швейцарский математик Леонард Эйлер, наконец, стал ответственным за развитие школы подлинной комбинаторной математики, начиная с 18 века. Он стал отцом теории графов, когда решил проблему Кенигсбергского моста, а его знаменитая гипотеза о латинских квадратах не была решена до 19 века.59.

Оформите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту.

Подпишитесь сейчас

В конце XIX века в Англии Артур Кейли внес важный вклад в перечислительную теорию графов, а Джеймс Джозеф Сильвестр открыл множество комбинаторных результатов. Британский математик Джордж Буль примерно в то же время использовал комбинаторные методы в связи с развитием символической логики, а также комбинаторные идеи и методы Анри Пуанкаре, получившие развитие в начале ХХ века в связи с проблемой n тел, привели к дисциплине топологии, которая занимает центральное место в математике. Многие комбинаторные задачи ставились в XIX веке как чисто развлекательные задачи и получили такие названия, как «задача восьми ферзей» и «задача Киркмана о школьницах». С другой стороны, изучение тройных систем, начатое Томасом П. Киркманом в 1847 году и продолженное Якобом Штайнером, немецким математиком швейцарского происхождения, в 1850-х годах, стало началом теории дизайна. К числу самых ранних книг, посвященных исключительно комбинаторике, относятся «9» немецкого математика Ойгена Нетто.0027 Lehrbuch der Combinatorik (1901; «Учебник комбинаторики») и Combinatory Analysis (1915–16) британского математика Перси Александра Мак-Магона, которые дают представление о комбинаторной теории в том виде, в каком она существовала до 1920 года. век

Многие факторы способствовали ускорению темпов развития комбинаторной теории с 1920 г. Одним из них было развитие статистической теории планирования экспериментов английскими статистиками Рональдом Фишером и Фрэнком Йейтсом, давшее начало многим проблемы комбинаторного интереса; методы, изначально разработанные для их решения, нашли применение в таких областях, как теория кодирования. Теория информации, возникшая примерно в середине века, также стала богатым источником комбинаторных задач совершенно нового типа.

Другим источником возрождения интереса к комбинаторике является теория графов, важность которой заключается в том, что графы могут служить абстрактными моделями для многих различных схем отношений между множествами объектов. Его приложения распространяются на исследование операций, химию, статистическую механику, теоретическую физику и социально-экономические проблемы. Теорию транспортных сетей можно рассматривать как главу теории ориентированных графов. Одна из самых сложных теоретических задач, задача четырех цветов (см. ниже), относится к области теории графов. У него также есть приложения к таким другим разделам математики, как теория групп.

Развитие вычислительной техники во второй половине 20 века является главной причиной интереса к конечной математике вообще и комбинаторной теории в частности. Комбинаторные задачи возникают не только при численном анализе, но и при проектировании вычислительных систем и при применении компьютеров к таким задачам, как хранение и поиск информации.

Статистическая механика — один из старейших и наиболее продуктивных источников комбинаторных задач. С середины 20 в. прикладными математиками и физиками проделана большая важная комбинаторная работа, например, работа над моделями Изинга (см. ниже «Проблема Изинга»).

В чистой математике комбинаторные методы успешно использовались в таких различных областях, как вероятность, алгебра (конечные группы и поля, теория матриц и решеток), теория чисел (разностные множества), теория множеств (теорема Шпернера) и математическая логика. (теорема Рамзи).

В отличие от широкого круга комбинаторных задач и множества методов, разработанных для их решения, отсутствует центральная объединяющая теория. Однако объединяющие принципы и перекрестные связи стали появляться в различных областях комбинаторной теории. Поиск лежащего в основе паттерна, который может каким-то образом указывать на то, как переплетаются различные части комбинаторики, является задачей, стоящей перед математиками в последней четверти 20-го века.

Мир математики – Mathigon

Введение

Леонард Эйлер (1707 – 1783)

Комбинаторика — это раздел математики, который описывает , считая — и мы обнаружим много интересных примеров «вещей», которые вы можете посчитать.

Первые комбинаторные задачи изучались древними индийскими, арабскими и греческими математиками. Интерес к этому предмету возрос в 19-м и 20-м веках вместе с развитием теории графов и таких проблем, как теорема о четырех цветах. Некоторые из ведущих математиков включают Блеза Паскаля (1623–1662), Якоба Бернулли (1654–1705) и Леонарда Эйлера (1707–1783).

Комбинаторика имеет множество приложений в других областях математики, включая теорию графов, кодирование и криптографию, а также вероятность.

Факториалы

Комбинаторика

может помочь нам подсчитать количество порядков из , в которых что-то может произойти. Рассмотрим следующий пример:

В классе V. CombA1 учеников и V.CombA1 стульев, стоящих в ряд. В скольких различных порядках ученики могут сесть на эти стулья?

Перечислим возможности – в этом примере V.CombA1 разных учеников представлены V.CombA1 разных цветов стульев.

Есть {2: 2, 3: 6, 4: 24, 5: 120}[V.CombA1] различных возможных порядков. Обратите внимание, что количество возможных заказов очень быстро увеличивается по мере увеличения числа учеников. С 6 учениками есть 720 различных возможностей, и перечислить их все становится непрактично. Вместо этого нам нужна простая формула, которая говорит нам, сколько заказов на n человек сидят на n стульях. Тогда мы можем просто заменить 3, 4 или любое другое число на n , чтобы получить правильный ответ.

Предположим, у нас есть V.CombB1 стульев, и мы хотим разместить V.CombB1==1?’один ученик’:V.CombB1==2?’два ученика’:V.CombB1==3?’три ученика. ‘:V.CombB1==4?’четыре ученика’:V.CombB1==5?’пять учеников’:V.CombB1==6?’шесть учеников’:’семь учеников’ на них. { 7: ‘На первый стул могут сесть 7 учеников. Тогда есть 6 учеников, которые могут сесть на второй стул. Есть 5 вариантов для третьего стула, 4 варианта для четвертого стула, 3 варианта для пятого стула, 2 варианта для шестого стула и только один вариант для последнего стула.’, 6: «На первый стул могут сесть 6 учеников. Тогда есть 5 учеников, которые могут сесть на второй стул. Есть 4 варианта для третьего стула, 3 варианта для четвертого стула, 2 варианта для пятого стула и только один вариант для последнего стула.’, 5: «На первый стул могут сесть 5 учеников. Тогда есть 4 ученика, которые могут сесть на второй стул. Есть 3 варианта выбора третьего стула, 2 варианта выбора четвертого стула и только один вариант выбора последнего стула. ‘, 4: «На первый стул могут сесть 4 ученика. Тогда есть 3 ученика, которые могут сесть на второй стул. Есть 2 варианта выбора третьего стула и только один вариант выбора последнего стула.’, 3: «На первый стул могут сесть 3 ученика. Затем есть 2 ученика, которые могут сесть на второй стул. Наконец, на третьем стуле остался только один ученик.’, 2: «Есть 2 ученика, которые могут сесть на первый стул. Далее на втором стуле остается только один ученик.’, 1: «Это только один вариант для одного стула».}[V.CombB1] Всего

возможности. Для упрощения записи математики используют «!» называется факториалом. Например, 5! («пять факториалов») — это то же самое, что 5 × 4 × 3 × 2 × 1. Выше мы только что показали, что существует n ! возможности заказать n предметов.

Упражнение

Решение

Сколькими способами 23 ребенка могут сесть на 23 стула на уроке математики? Если у вас 4 урока в неделю, а в году 52 недели, сколько лет потребуется, чтобы пройти через все возможные варианты? Примечание: Возраст Вселенной составляет около 14 миллиардов лет.

Для 23 детей, чтобы сидеть на 23 стульях есть 23! = 25 852 016 738 884 800 000 000 возможностей (это число слишком велико для отображения на экране калькулятора). Перепробование всех возможностей заняло бы

23,4 × 52 = 124 288 542 000 000 000 000 лет.

Это почти в 10 миллионов раз больше текущего возраста Вселенной!

Перестановки

Приведенный выше метод требовал, чтобы у нас было столько учеников, сколько стульев, на которых можно сидеть. Но что делать, если стульев не хватает?

Сколько существует различных возможностей для любого Math.min(V.CombC1,V.CombC2) из V.CombC1 учеников сесть на Math.min(V.CombC1,V.CombC2) стульев? Обратите внимание, что Math.max(0,V.CombC1-V.CombC2) останется в силе, что нам не нужно включать при перечислении возможностей.

Давайте начнем снова, перечислив все возможности:

attr(‘src’,’resources/Combinatorics/’+V.CombC1+’P’+(Math.min(V.CombC1,V.CombC2))+’@2x.png’).attr(‘width’,(V.CombC1==1&&(Math.min(V.CombC1,V.CombC2))==1)?29:(V.CombC1==2&&(Math.min(V.CombC1,V.CombC2))==1)?92:(V.CombC1==2&&(Math.min(V.CombC1,V.CombC2))==2)?156:(V.CombC1==3&&(Math.min(V.CombC1,V.CombC2))==1)?154:(V.CombC1==3&&(Math.min(V.CombC1,V.CombC2))==2)?250:(V.CombC1==3&&(Math.min(V.CombC1,V.CombC2))==3)?336:(V.CombC1==4&&(Math.min(V.CombC1,V.CombC2))==1)?216:(V.CombC1==4&&(Math.min(V.CombC1,V.CombC2))==2)?480:(V.CombC1==4&&(Math.min(V.CombC1,V.CombC2))==3)?532:586)»>

Чтобы найти простую формулу, подобную приведенной выше, мы можем думать об этом очень похожим образом. ‘Есть ученики ‘+V.CombC1+’, которые могли сесть на первый стул. ‘+ (((Math.min(V.CombC1,V.CombC2))==2||(Math.min(V.CombC1,V.CombC2))==3||(Math.min(V.CombC1,V .CombC2))==4)?’Тогда есть ‘+(V.CombC1-1)+’ учеников, которые могли бы сесть на второй стул. ‘:»)+ (((Math.min(V.CombC1,V.CombC2))==3||(Math.min(V.CombC1,V.CombC2))==4)?’Тогда есть ‘+(V.CombC1 -2)+’ ученики, которые могли сесть на третий стул. ‘:»)+ (((Math.min(V.CombC1,V.CombC2))==4)?’На последнем стуле остался один ученик. ‘:»)+ ((V.CombC1-(Math.min(V.CombC1,V.CombC2))==1||V.CombC1-(Math.min(V.CombC1,V.CombC2))==2||V. CombC1-(Math.min(V.CombC1,V.CombC2))==3)?’Нас не волнуют оставшиеся ‘+(V.CombC1-V.CombC2)+’ дочерние элементы, оставшиеся стоять. ‘:’ ‘) Всего

возможности. Опять же, мы должны подумать об обобщении этого. Мы начинаем, как и с факториалов, но останавливаемся до того, как достигнем 1. На самом деле мы останавливаемся, как только достигаем количества студентов без стульев. При размещении 7 студентов на 3 стулья их становится

7 × 6 × 5   =  7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 17 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1  =  7 !4! = 7 !( 7 – 3 )!

возможности, так как 4 × 3 × 2 × 1 аннулируют друг друга. Опять же, для этого есть более простое обозначение: 7 Р 3 . Если мы хотим разместить n объектов на m позиций, то есть

n P m   =  n !( n – m )!

возможности. P означает «перестановки p », так как мы подсчитываем количество перестановок (порядков) объектов. Если m и n такие же, как были в задаче в начале статьи, то имеем

n P n  = n !( n – n )! = n !0!.

Чтобы понять это, мы определяем 0! = 1. Теперь n P n = n ! как и следовало ожидать от нашего решения первой проблемы.

Упражнение

Решение

К сожалению, вы не можете вспомнить код своего четырехзначного замка. Вы только знаете, что не использовали ни одну цифру более одного раза. Сколько разных способов нужно попробовать? Что вы можете сказать о безопасности этих замков?

Имеется 10 цифр (0, 1, …, 9), каждая из которых встречается не более одного раза. Количество порядков этих цифр равно 10 P 4 = 5040. Тестирование такого количества комбинаций заняло бы очень много времени, поэтому замки с 4 цифрами очень безопасны.

Комбинации

Перестановки используются, когда вы выбираете объекты и заботитесь об их порядке — например, о порядке детей на стульях. Однако в некоторых задачах вам не важен порядок, и вы просто хотите знать, сколько существует способов выбрать определенное количество объектов из большего набора.

В магазине есть пять разных футболок, которые вам нравятся, красного, синего, зеленого, желтого и черного цветов. К сожалению, у вас есть только достаточно денег, чтобы купить три из них. Сколькими способами можно выбрать три футболки из пяти понравившихся?

Здесь нас не волнует порядок (неважно, покупаем ли мы сначала черную, а затем красную или сначала красную, а затем черную), только количество комбинаций футболок. Возможности

, всего их 10. Если бы мы вычислили 5 P 3 = 60, мы бы дважды посчитали некоторые возможности, как показано в следующей таблице:

С перестановками каждую комбинацию из трех футболок считаем 6 раз, потому что их 3! = 6 способов заказать три футболки. Чтобы получить количество комбинаций из количества перестановок, нам просто нужно разделить на 6. Пишем

5 C 3  =  5 P 33! =  606  =  10,

Здесь C означает « c комбинации». В общем, если мы хотим выбрать r объектов из общего числа n есть

n C r  =  n P r r ! = n ! р ! ( n – r )!

различных комбинации. Вместо n C r математики часто пишут n C r = ( n r ), как дробь в скобках, но без черты между ними. (Чтобы упростить набор текста, мы продолжим использовать первое встроенное обозначение.)

Упражнения

Решения

(a) В вашем классе 10 детей, но вы можете пригласить только 5 на свой день рождения. Сколько различных комбинаций друзей вы могли бы пригласить? Объясните, следует ли использовать комбинации или перестановки.

(б) На вечеринке 75 человек. Все пожимают всем руку один раз. Как часто в целом пожимают руки? Подсказка: Сколько человек участвует в рукопожатии?

(a) Количество комбинаций друзей, которых вы можете пригласить, равно 10 C 5 = 252. Мы использовали комбинации, потому что не имеет значения в каком порядке мы приглашаем друзей, на каких мы приглашаем.

(b) Вы хотите найти количество всех возможных пар гостей вечеринки. Это просто 75 C 2 = 2775. (Много рукопожатий!)

Комбинаторика и треугольник Паскаля

Давайте вычислим некоторые значения n C r . Начинаем с 0 C 0. Затем находим 1 C 0 и 1 C 1. Далее 2 C 0, 2 C 1 и 2 C 2. Затем 3 90 021 С 0 , 3 C 1, 3 C 2 и 3 C 3. Запишем все эти результаты в таблицу:

					0 С 0 = 1
				1 С 0 = 1		1 С 1 = 1
			2 С 0 = 1		2 С 1 = 2		2 С 2 = 1
		3 С 0 = 1		3 С 1 = 3		3 С 2 = 3		3 С 3 = 1
	4 С 0 = 1		4 С 1 = 4		4 С 2 = 6		4 С 3 = 4		4 С 4 = 1
5 С 0 = 1		5 С 1 = 5		5 С 2 = 10		5 С 3 = 10		5 С 4 = 5		5 С 5 = 1

Это и есть треугольник Паскаля, который мы исследовали в статье о последовательностях. Его можно легко создать, заметив, что любая ячейка является суммой двух ячеек выше. В треугольнике Паскаля скрыты бесчисленные закономерности и числовые последовательности.

Теперь мы также знаем, что r -е число в n -й строке равно n C r (но мы всегда должны начинать отсчет с 0, поэтому первая строка или столбец на самом деле является нулевой строкой). Если мы применим то, что мы знаем о построении треугольника Паскаля, к нашим комбинациям, мы получим

.

( н р ) + ( п р + 1) «=» ( n + 1 r + 1) .

Это известно как Личность Паскаля . Вы можете получить его, используя определение n C r в терминах факториалов, или вы можете думать об этом следующим образом:

Мы хотим выбрать r + 1 объектов из набора n + 1 объектов. Это в точности то же самое, что пометить один объект из n + 1 как X и либо выбрать X плюс r других (из оставшихся n), либо не выбрать X и r + 1 других ( из оставшихся n).

Многие задачи по комбинаторике имеют простое решение, если правильно подумать, и очень сложное решение, если просто попробовать использовать алгебру…

Stars and Bars

Solution

Пример

Зеленщик на рынке хранит большое количество n различных видов фруктов. Сколькими способами можно составить мешок из r фруктов? Обратите внимание, что r может быть меньше, равно или больше, чем n .

Обратите внимание, что при r ≤ n существует n C r способов выбрать по одному фрукту каждого вида. Однако нам также разрешено брать более одного фрукта каждого вида, например, два яблока, одну клубнику и один банан.

Мы можем представить любой правильный выбор фруктов с помощью цепочки звездочек и полос, как показано в этом примере:

★★★	|	★★	|		|	★★	|	★
3 типа 1		2 типа 2		0 типа 3		2 типа 4		1 тип 5

Всего имеется r звездочек (представляющих r фруктов, которые нам разрешено брать) и n – 1 полоска (делящих n различных видов фруктов). Получается r + n – всего 1 место. Любой заказ r звездочек и n – 1 слитков соответствует ровно одному действительному набору фруктов.

Теперь мы можем применить наши комбинаторные инструменты: есть r + n – 1 место, и мы хотим выбрать n – 1 из них в качестве баров (все остальные – звезды). Что есть ровно ( r + n – 1) C ( n – 1) возможности сделать это!

Предположим, есть пять видов фруктов, и мы хотим взять десять штук. Из того, что мы подсчитали выше, имеется

(10 + 5 – 1) C (5 – 1) = 14 C 4 = 24 024

возможности. Подумайте об этом в следующий раз, когда пойдете за покупками!

Комбинаторика и Вероятность

Комбинаторика имеет множество приложений в теории вероятностей. Вы часто хотите найти вероятность одного конкретного события, и вы можете использовать уравнение

P ( X ) = вероятность того, что произойдет X  =  количество исходов, при которых произойдет X , общее количество возможных исходов

Вы можете использовать комбинаторику, чтобы вычислить «общее количество возможных исходов». Вот пример:

Четверо детей, которых зовут A, B, C и D, произвольно сидят на четырех стульях. Какова вероятность того, что А сядет на первый стул?

Мы уже показали, что всего есть 24 способа сесть на четыре стула. Если вы вернетесь к нашему решению, вы также обнаружите, что А сидит на первом стуле в шести случаях. Поэтому

P (A сидит на первом стуле)  = количество исходов, где A сидит на первом стуле, общее количество возможных исходов  =  624  =  14,

Этот ответ был ожидаем, так как каждый из четырех детей с равной вероятностью сядет на первый стул. Но в других случаях все не так однозначно…

Упражнения

Решения

(a) Почтальон должен доставить четыре письма в четыре разных дома на улице. К сожалению, дождь стер адреса, поэтому он просто раздает их случайным образом, по одной букве на дом. Какова вероятность того, что каждый дом получит нужную букву? (☆ Какова вероятность того, что каждый дом получит неправильную букву?)

(b) В лотерее нужно угадать 6 номеров из 49.