18 интересных фактов о геометрии

Интересные факты о геометрии – это отличная возможность узнать больше о точных науках. Геометрия начала развиваться еще тысячи лет назад. Древним ученым удалось вывести немало основополагающих формул, которыми мы пользуемся и сегодня.

Итак, перед вами самые интересные факты о геометрии.

18 интересных фактов о геометрии

1. Геометрия, как систематическая наука, возникла в Древней Греции.
2. Одним из самых выдающихся ученых в области геометрии является Евклид. Открытые им законы и принципы до сих пор лежат в основе данной науки.
3. Более 5 тысячелетий назад древние египтяне использовали геометрические знания при постройке пирамид, а также в ходе разметки земельных участков на побережьях Нила (см. интересные факты о Ниле).
4. Знаете ли вы, что над дверью в академию, в которой Платон обучал своих последователей, находился следующая надпись: «Пусть не входит сюда тот, кто не знает геометрии»?
5. Трапеция – одна из геометрических фигур, происходит от древнегреческого «трапезион», что буквально переводится, как – «столик».
6. Среди всех геометрических форм с одинаковым периметром, круг обладает самой большой площадью.
7. Посредством геометрических формул и не исключая того, что наша планета является сферой, древнегреческий ученый Эратосфен вычислил длину ее окружности. Интересен факт, что современные измерения показали, что грек выполнил все расчеты правильно, допустив лишь небольшую погрешность.
8. В геометрии Лобачевского сумма всех углов треугольника менее 180⁰.
9. Сегодня математикам известно о других разновидностях неевклидовых геометрий. Они не практикуются в повседневной жизни, но помогают разрешить массу вопросов в других точных науках.
10. Древнегреческое слово «конус» переводится, как – «сосновая шишка».
11. Основы фрактальной геометрии были заложены гениальным Леонардо да Винчи (см. интересные факты о Леонардо да Винчи).
12. После того, как Пифагор вывел свою теорему он и его ученики испытали такое потрясение, что решили будто мир уже познан и осталось только объяснить его числами.
13. Главным среди всех своих достижений Архимед считал вычисление объемов конуса и шара, вписанных в цилиндр. Объем конуса составляет 1/3 от объема цилиндра, в то время как объем шара – 2/3.
14. В геометрии Римана сумма углов треугольника всегда превышает 180⁰.
15. Интересен факт, что Евклид самостоятельно доказал 465 геометрических теорем.
16. Оказывается, Наполеон Бонапарт был талантливым математиком, который за годы своей жизни написал немало научных трудов. Любопытно, что его именем названа одна из геометрических задач.
17. В геометрии формула, помогающая измерить объем усеченной пирамиды появилась раньше, чем формула для целой пирамиды.
18. В честь геометрии назван астероид под номером 376.

Это были самые интересные факты о геометрии. Если вам понравилась эта статья, или вы вообще любите интересные научные факты, – поделитесь ею в соцсетях и подписывайтесь на сайт interesnyefakty.org.

Понравился пост? Нажми любую кнопку:

Интересные факты:

18 интересных фактов о геометрии

О геометрии – о точных науках. Геометрия начала развиваться еще тысячи лет назад. Древним ученым удалось вывести немало основополагающих формул, которыми мы пользуемся и сегодня.

О геометрии.

18 интересных фактов о геометрии

1. Геометрия, как систематическая наука, возникла в Древней Греции.
2. Одним из самых выдающихся ученых в области геометрии является Евклид. Открытые им законы и принципы до сих пор лежат в основе данной науки.
3. Более 5 тысячелетий назад древние египтяне использовали геометрические знания при постройке пирамид, а также в ходе разметки земельных участков на побережьях Нила (см. интересные факты о Ниле).
4. Знаете ли вы, что над дверью в академию, в которой Платон обучал своих последователей, находился следующая надпись: «Пусть не входит сюда тот, кто не знает геометрии»?
5. Трапеция – одна из геометрических фигур, происходит от древнегреческого «трапезион», что буквально переводится, как – «столик».
6. Среди всех геометрических форм с одинаковым периметром, круг обладает самой большой площадью.
7. Посредством геометрических формул и не исключая того, что наша планета является сферой, древнегреческий ученый Эратосфен вычислил длину ее окружности. Интересен факт, что современные измерения показали, что грек выполнил все расчеты правильно, допустив лишь небольшую погрешность.
8. В геометрии Лобачевского сумма всех углов треугольника менее 180⁰.
9. Сегодня математикам известно о других разновидностях неевклидовых геометрий. Они не практикуются в повседневной жизни, но помогают разрешить массу вопросов в других точных науках.
10. Древнегреческое слово «конус» переводится, как – «сосновая шишка».
11. Основы фрактальной геометрии были заложены гениальным Леонардо да Винчи (см. интересные факты о Леонардо да Винчи).
12. После того, как Пифагор вывел свою теорему он и его ученики испытали такое потрясение, что решили будто мир уже познан и осталось только объяснить его числами.
13. Главным среди всех своих достижений Архимед считал вычисление объемов конуса и шара, вписанных в цилиндр. Объем конуса составляет 1/3 от объема цилиндра, в то время как объем шара – 2/3.
14. В геометрии Римана сумма углов треугольника всегда превышает 180⁰.
15. Интересен факт, что Евклид самостоятельно доказал 465 геометрических теорем.
16. Оказывается, Наполеон Бонапарт был талантливым математиком, который за годы своей жизни написал немало научных трудов. Любопытно, что его именем названа одна из геометрических задач.
17. В геометрии формула, помогающая измерить объем усеченной пирамиды появилась раньше, чем формула для целой пирамиды.
18. В честь геометрии назван астероид под номером 376.

Это были самые интересные факты о геометрии. Если вам понравилась эта статья, или вы вообще любите интересные научные факты, – поделитесь ею в соцсетях и подписывайтесь на наш сайт. 

• Предыдущее: Григорий Потемкин
• Следующее: Константин Эрнст

Факты о геометрии

Геометрия является одним из важнейших разделов математики. Она наглядно позволяет отобразить разные закономерности и геометрические объекты. Ее возникновение этой науки уходит вглубь веков и связано с развитием ремесленного дела, культуры и искусства, а также ряда насущных практических задач (измерение земельных участков и объемов тел).

Математика для древних греков была, прежде всего, геометрией. Поэтому над двери Академии, в стенах которой Платон учил своих учеников, висела надпись: «Пусть сюда не входит тот, кто не знает геометрии».

Трапеция — очень известная геометрическая фигура

Слово «трапеция» произошло от древнегреческого слова «трапезион» (обозначает столик). также от данного слова произошли уже немного подзабытые в обиходе слова, такие как «трапеза» и прочие родственные ему слова.

Рисунок и формулы конуса

Греческое слово «конос», обозначающее сосновую шишку, является словарной основой для такого термина как «конус», а известный в геометрии термин «линия» возник уже от латинского слова «линум» (что в переводе на русский язык означает «льняная нить»).

Геометрические фигуры

Среди всех геометрических форм с одинаковым периметром, круг имеет наибольшую площадь и, наоборот, среди всех фигур с одинаковой площадью круг имеет наименьший периметр. «Квадратура круга» — это математическая задача, которая заключается в геометрическом построении при помощи циркуля и линейки, квадрата, равновеликого по площади данному кругу. В 1882 году, Фердинандом Линдеманом, была математически доказана неразрешимость этой задачи. однако это, не помешало многим людям продолжить тратить своё время на её решение. Так появилась известная всем метафора обусловленная именно бесперспективность подобных изысканий.

Как разрезать пирог на 8 частей?

Пирог разрезается всего тремя касаниями ножа на восемь равных долей. Причем, существует только два способа это сделать.

Под треугольником Рёло понимают геометрическую фигуру, образованную пересечением 3 кругов одинакового радиуса D с центрами, находящимися в вершинах равностороннего треугольника, такой же по длине стороны. на основе треугольника Рёло было придумано сверло, позволяющее просверливать почти квадратные отверстия.

Факты о фрактальной геометрии

Правило выведенное знаменитым итальянским учёным Леонардом да Винчи гласит, что квадрат диаметра (D) ствола дерева равен сумме квадратов диаметров (d1 и d2) ветвей, взятых на общей фиксированной высоте. Более поздние исследования подтвердили данное утверждение лишь с одной оговоркой — степень в формуле необязательно должна равняться двум, а может лежать в диапазоне чисел от 1,8 до 2,3.

Рисунок фрактального дерева

Первоначально считалось, что такая закономерность объясняется тем, что для дерева с подобной структурой имеется более оптимальный механизм снабжения веток питательными соками. Но, в 2010 году, американским физиком Кристофом Эллойем было придумано простое объяснение данному феномену. При рассмотрении дерева как фрактал, уменьшается вероятность слома веток под сильными порывами ветра.

Угол расположения листьев друг от друга может быть описан дробью

Листья на ветвях деревьев, как стало известно, всегда располагаются в строго определенном порядке. Они отстоят друг от друга на определённый угол. Величина этого угла разная для разных растений, однако, что самое интересное, она всегда описывается простой дробью, где числитель и знаменатель представлены числами из ряда Фибоначчи. К примеру, листья бука образуют угол равный 1/3, или 120°, для дуба и абрикоса он представлен дробью 2/5, у груши и тополя — 3/8, у ивы и миндаля — 5/13 и т.д. Подобное расположение даёт возможность листьям более эффективно извлекать влагу и получать солнечный свет.

Кочан капусты сорта Романеско

Красивейшие соцветия капусты сорта романеско представляют собой фракталы природного происхождения. Бутоны этого сорта капусты описываются строгой логарифмической спиралью и состоят из более мелких бутонов, закрученных по тому же принципу. Данная самоподобная структура повторяется ещё несколько раз.

Узлы на веревке

Почти 5000 лет назад древние египтяне уже знали, что если завязать на веревке двенадцать узелков отстоящих друг от друга на равных расстояниях, а затем натянуть ее в форме треугольника, то образуется фигура с одним прямым углом. Это знание помогало делать правильную разметку плодородных земель в долине Нила.

Рисунок расчета длины окружности (меридиана) Земли

При помощи геометрических правил и предположения о том, что наша земля шарообразна, древнегреческий ученый Эратосфен измерил длину её окружности. Им было замечено, что, когда Солнце находится в Сиене (Африка) прямо над головой, в Александрии, которая расположена от этого места на 800 километров, оно отклоняется от вертикали на 7°. Эратосфен заключил, что если из центра Земли Солнце видно под углом 7° и, следовательно, окружность земного шара равна 360:7°х800 = 41 140 километров.

Свыше двух тысячелетий Евклид, давший особенно удачное и стройное изложение геометрии, был непререкаемым законодателем в этой области математики. Даже немецкий философ Иманнуил Кант считал геометрию Евклида единственно возможной. Однако были неясности в евклидовом изложении геометрии, которые не удовлетворяло математиков. Это единственность параллельной к данной прямой, которую можно провести в плоскости через данную точку А. Евклид считал это положение аксиомой, а некоторые математики позже попытались доказать этот факт, как теорему. Однако на протяжении веков доказательств никто не находил.

Титульная страница из труда Н. И. Лобачевского

Эту загадку параллельности решил профессор Казанского университета Н. И. Лобачевский, опубликовавший о своем открытии в 1826 году. Несколько позже к подобным выводам пришли немецкий математик Карл Гаусс и венгерский математик Янош Бояи. Оба ученых установили, что единственность параллельной нельзя доказать в виде теоремы. К примеру, если допустить возможность провести через точку более одной прямой, не пересекающейся с данной, то мы придем к другому виду геометрии — неевклидовой, в которой, этих противоречий наблюдаться не будет. Такую геометрию позже назвали геометрией Лобачевского.

В геометрии Лобачевского параллельные прямые не пересекаются друг с другом в силу самого определения параллельности. Основное отличие геометрии Лобачевского от евклидовой является положение, что через одну точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не одну, а по крайней мере 2 не пересекающих её прямых, находящихся в той же плоскости.

В геометрии Лобачевского сумма всех углов треугольника меньше 180 градусов. Два перпендикуляра исходящие из одной прямой все дальше и дальше будут отходить друг от друга.

Интересные факты о геометрии

Геометрия — удивительная наука, один из важнейших и значительных разделов математики. Она присутствует в нашей жизни повсюду: предметы, объекты, которые нас окружают, имеют форму, размер, их можно измерить, оценить расстояние между ними, расположение относительно друг друга. Эту науку начинают изучать в 7 классе. Представляем интересные факты о геометрии.

Эта наука насчитывает тысячелетия, ее возникновение связывают с необходимостью для древних египтян измерять площадь плодородных земель в долине реки Нил. Эти земли регулярно подвергались затоплению, в результате которого размывались границы, определяющие принадлежность участков конкретных владельцам. Для того, чтобы восстановить границы своих владений, египтянам приходилось производить соответствующие измерения и вычисления. Особенно внимательно к таким расчетам относились сборщики налогов на землю.

Впоследствии из Древнего Египта геометрия перекочевала в Древнюю Элладу, где получила дальнейшее развитие. Древние греки с большим почтением относились к этой науке и отождествляли ее с математикой. «Пусть сюда не входит тот, кто не знает геометрии», — такие слова встречали учеников Платона на пороге Академии.

В названиях многих геометрических фигур заключены слова, описывающие предметы, похожие на данные фигуры. Так, трапеция обязана своим названием сходству со столом, который в древнегреческом обиходе именовался «трапезион». Сосновая шишка, именуемая в греческом языке словом «конос», дала название известному нам конусу. А вот «линия» имеет латинский корень («линум» переводится как «льняная нить»).

Очень интересным по своим свойствам является круг. Если сравнивать все геометрические фигуры, имеющие одинаковый периметр, то круг будет иметь наибольшую площадь. И наоборот, если рассматривать все фигуры, имеющие одинаковую площадь, то окажется, что минимальный периметр — у круга.

Во второй половине 20 века появилось новое слово в геометрии — фракталы. Его ввел Бенуа Мандельброт, который считается основателем фрактальной геометрии, хотя сами фрактальные структуры существовали в природе задолго до этого. Ведь фракталы — это множества самоподобных элементов. Примером такого множества является красивое соцветие капусты сорта Романеско. Его бутоны расположены в соответствии со строгой логарифмической спиралью, каждый бутон, в свою очередь, состоит из более мелких бутонов, расположение которых аналогично. И эта структура повторяется многократно.

Закономерность, присущую фрактальным структурам, вывел еще известный итальянский ученый Леонардо да Винчи: если на определенной высоте измерить диаметр ствола дерева и возвести его в квадрат, то полученное значение будет равно сумме квадратов диаметров ветвей, расположенных на той же высоте. Впоследствии это было подтверждено и другими исследователями с одним уточнением: степень в формуле не всегда является квадратной, ее величина может принадлежать интервалу от 1,8 до 2,3. Описанное Леонардо да Винчи явление изначально объяснялось необходимостью обеспечения оптимальной структуры дерева, позволяющей более эффективно снабжать растение питательными соками. Позднее этому факту было предложено иное объяснение: подобная фрактальная структура дерева уменьшает вероятность того, что сильные порывы ветра могут сломать ветки.

Расположение листьев на ветке также подчинено определенному закону. Угол расхождения, который образуется между соседними листьям, для каждого растения свой, но описывается он всегда простой дробью. В числителе и знаменателе такой дроби — числа из ряда Фибоначчи, который представляет собой последовательность чисел, где каждое следующее число представляет собой сумму двух предыдущих, причем два первых — это 0 и 1, либо 1 и 1. Например, угол расположения листьев бука составляет 1/3 или 120 градусов, у абрикоса этот угол равен 2/5, у груши — 3/8, а у ивы — 5/13. Располагаясь подобным образом, листья получают оптимальный ресурс солнечного света.

Основоположником геометрии как науки является Евклид, который свыше 2000 лет назад дал наиболее логичное и стройное ее изложение в своей книге «Начала». Впоследствии его учение так и стало называться «евклидова геометрия». И только в начале 19 века некоторые ученые предположили возможность существования иной геометрии, отличной от евклидовой. Первый из них — Николай Иванович Лобачевский, профессор Казанского университета. Геометрия Лобачевского имеет в своей основе те же положения, что и «евклидова геометрия», за исключением аксиомы о параллельности прямых. В соответствии с учением Евклида, существует только одна прямая, проходящая через точку вне заданной прямой и принадлежащая той же плоскости. Это верно для плоскости, не имеющей отклонения или кривизны. Лобачевский вводит понятие плоскости с отрицательной кривизной (поэтому геометрию Лобачевского называют еще «гиперболическая геометрия»). И тогда прямые, принадлежащие этой плоскости, приобретают иные свойства, которые допускают возможность существования как минимум двух прямых, имеющих общую точку, лежащую вне данной прямой, и не пересекающих данную прямую. Следует отметить, что геометрия Лобачевского нашла отражение в теории относительности А. Эйнштейна, согласно которой пространство нашей Вселенной имеет гиперболическую форму.

Интересные факты о геометрии | Занимательные факты по геометрии (7 класс) на тему:

Геометрия — важный раздел математики. Ее возникновение уходит в глубь тысячелетий и связано прежде всего с развитием ремесел, культуры, искусств, с трудовой деятельностью человека и наблюдением окружающего мира. Об этом свидетельствуют названия геометрических фигур. 

Например, название фигуры «трапеция» происходит от греческого слова «трапезион» (столик), от которого произошли также слово «трапеза» и другие родственные слова. От греческого слова «конос» (сосновая шишка) произошло название «конус», а термин «линия» возник от латинского «линум» (льняная нить). И факты геометрии сначала имели опытное происхождение.

Еще 5 тыс. лет назад древние египтяне знали, что если сделать на веревке 12 узелков на равных расстояниях и натянуть ее в форме треугольника, то получится прямой угол. И это было очень важно для правильной разметки плодородных земель в долине Нила. В египетских папирусах и вавилонских клинописных таблицах того времени мы находим другие геометрические факты, найденные опытным путем при измерении земельных участков, постройке зданий и т.д.

А в 5-м в. до н.э. произошел решительный поворот в развитии геометрии. И связан он с именем Фалеса, уроженца города Милет. Этот купец в свободное время занимался математикой. И сделал величайшее открытие: обнаружил, что многие геометрические закономерности можно получать не опытным путем, а с помощью рассуждения (доказательства). Это формулируют так: накрест лежащие углы, получающиеся при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, равны. Фалес доказал и ряд других теорем. Благодаря его открытию геометрия к 3му в. до н. э. становится наукой, в которой имеется небольшое число аксиом (первоначальных предположений), а все остальные факты (теоремы) устанавливаются с помощью доказательств. За Фалесом большой вклад в развитие геометрии внесли Евдокс, Евклид, Архимед.

И, вообще, говоря словами великого итальянского ученого Г. Галилея, «геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать».

Если намотать вплотную (в виде спирали) веревку сначала на полусферу, а затем свернуть ее внутри круга такого же радиуса (рисунок), то окажется, что для полусферы нужна веревка вдвое длиннее. Это показывает, что площадь полусферы в два раза больше круга. Конечно, это не доказательство, а лишь опытное подтверждение данного факта. Но греческие ученые нашли и математическое доказательство.

Древнегреческий ученый Эратосфен с помощью геометрии измерил длину окружности земного шара. Он обнаружил, что, когда Солнце стоит в Сиене (Африка) над головой, в Александрии, расположенной в 800 км, оно отклоняется от вертикали на 7 . Эратосфен заключил, что из центра Земли Солнце видно под углом 7 и, следовательно, окружность земного шара равна 360:7 х 800=41 140 км.

Свыше двух тысячелетий Евклид, давший особенно удачное и стройное изложение геометрии, был непререкаемым законодателем в этой области математики. Немецкий философ И. Кант считал геометрию Евклида единственно возможной. Было, однако, место в евклидовом изложении геометрии, которое не удовлетворяло математиков. Это единственность параллельной к данной прямой, которую можно провести в плоскости через данную точку А. Евклид считал это положение аксиомой, некоторые математики пытались доказать этот факт как теорему. Однако проходили века, а доказательства найти не удалось.

Решил загадку параллельности профессор Казанского университета Н. И. Лобачевский, который опубликовал свое открытие в 1826 г. Несколько позже к тем же выводам пришли венгерский математик Янош Бояи и немецкий «король математики» К. Гаусс. Эти ученые установили, что единственность параллельной невозможно доказать как теорему. Ведь если допустить возможность провести через точку более одной прямой, не пересекающейся с данной, то мы придем к другой геометрии, неевклидовой, в которой, однако, не будет никаких противоречий. Эту геометрию называют сегодня геометрией Лобачевского.

Заменив аксиому параллельности противоположным утверждением (при сохранении остальных аксиом Евклида), мы придем к новой геометрии, которая во многом не согласуется с нашими привычными наглядными представлениями, но тем не менее не содержит никаких логических противоречий. Все трое ученых не только были убеждены в справедливости этой идеи, но и доказали десятки теорем неевклидовой геометрии. Особенно существенно развил ее Лобачевский.

В геометрии Лобачевского сумма углов любого треугольника меньше 180 . Два перпендикуляра к одной прямой все дальше отходят друг от друга. И еще много фактов есть в этой геометрии, не похожих на те, о которых говорится в школьных учебниках. И все же никаких противоречий в этой геометрии нет. А вскоре математики открыли много других геометрий. И все они нужны. А евклидова геометрия, которую изучают в школе, — самая простая из всех и в то же время самая нужная.

История развития геометрии. История возникновения геометрии.

Геометрия — одна из древнейших отраслей математики. Геометрические тела были известны задолго до того, как были выведены математические принципы. Геометрия — это математическое исследование точек, линий, плоскостей, замкнутых плоских фигур и твердых тел. Используя это, можно описать или построить каждый видимый и невидимый предмет.

 

Геометрия происходит от слова «geo» — земля, «metria» — мера. Геометрия возникла как область знаний, занимающаяся пространственными отношениями. Геометрия одна из двух областей математики, вторая — арифметика, или алгебра.

 История возникновения геометрии

 

Геометрия с практической точки зрения — это потребность измерять формы. Считается, что геометрия впервые стала важной, когда Египетский фараон хотел обложить налогом фермеров, которые выращивали урожай вдоль реки Нил. Чтобы вычислить правильную сумму налога, люди фараона должны были измерить количество обрабатываемой земли.

 

Около \(2900\) лет до нашей эры была построена первая египетская пирамида. Знание геометрии было необходимо для построения пирамид, которые состояли из квадратного основания и треугольных граней. Самая ранняя запись формулы для вычисления площади треугольника датируется \(2000\) годом до нашей эры. Египтяне и вавилоняне разработали практическую геометрию для решения повседневных проблем, но нет никаких доказательств того, что они логически выводили геометрические факты из основных принципов.

 

Именно греки \(600\) – \(400\) лет до нашей эры разработали принципы современной геометрии. Фалес Милетский изучил подобные треугольники и написал доказательство того, что соответствующие стороны подобных треугольников пропорциональны.

---

Пифагор (\(569-475\) лет до н. э.)

 

Следующим считается Пифагор. Пифагор был первым математиком, логически выводящим геометрические факты из основных принципов. Пифагор основал братство под названием «пифагорейцы», которые преследовали знания в математике, науке и философии. Некоторые люди считают пифагорейскую школу местом рождения разума и логической мысли. Наиболее известным и полезным вкладом пифагорейцев была теорема Пифагора. Теория гласит, что сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы.

 

---

Евклид Александрийский (\(325-265\) лет до н. э.) 

 

Евклид Александрийский считается “отцом современной геометрии”. Евклид  ввел математическую строгость и аксиоматический метод, все еще используемый сегодня. Его книга “Начало”, написанная около 300 лет до нашей эры, считается самым влиятельным учебником всех времен и народов. Книга «Начало» была известна всем образованным людям на западе до середины 20-го века. Евклид изобрел \(23\) определения, \(5\) постулатов и \(5\) аксиом.

 

Аксиома — это утверждение, которое принимается без доказательств. Как только он доказал свое первое утверждение, на его основе он доказал второе, затем третье и т. д. Этот процесс известен как аксиоматический подход. Элементы Евклида составляют основу современной геометрии, которая преподается сегодня в школах, колледжах и университетах.

---

Рене Декарт (\(1596-1650\))

 

До появления Рене Декарта  в геометрии не было крупных изменений. Декарт объединил алгебру и геометрию для создания аналитической геометрии. Аналитическая геометрия, также известная как координатная геометрия, включает размещение геометрической фигуры в системе координат для иллюстрации доказательств и получения информации с использованием алгебраических уравнений.

---

Карл Фридрих Гаусс (\(1777-1855\))

 

Следующее большое развитие в геометрии пришло с развитием неевклидовой геометрии. Карл Фридрих Гаусс изобрел неевклидову геометрию, не основанную на постулатах Евклида. Параллельный постулат гласит, что через заданную точку  на прямой есть одна и только одна прямая, параллельная этой линии. Неевклидова геометрия задала математическую основу для теории относительности Эйнштейна.

 

 

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Наши преподаватели

Оставить заявку

Репетитор по математике

Уральский государственный университет им. А. М. Горького

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 5-11 классов по русскому языку. Индивидуальный подход к ученику, использование конструктора и алгоритмов в преподавании. Академические методы преподавания светской педагогической школы.

Оставить заявку

Репетитор по математике

Витебский государственный педагогический институт им. С.М. Кирова

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 5-8 классов. На своих уроках я применяю элементы современных образовательных технологий: здоровьесберегающие технологии, личностно-ориентированный подход, игровые технологии, технологии уровневых дифференциаций, проектное обучение, технологии проблемного обучения, также комбинирую несколько образовательных технологий в одном уроке. С радостью жду Вас на своих занятиях!

Оставить заявку

Репетитор по математике

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 5-11 классов. Я люблю математику за её универсальность. Она превосходит языки, литературу, искусство. Математические законы непреложны, и при этом каждая задача несет в себе что-то новое. По-моему, это особый вид магии!

Логарифмы (урок)

• — Индивидуальные занятия
• — В любое удобное для вас время
• — Бесплатное вводное занятие

Математика 10 класс

• — Индивидуальные занятия
• — В любое удобное для вас время
• — Бесплатное вводное занятие

Похожие статьи

В геометрии Лобачевского параллельные прямые пересекаются

Все мы в школе проходим курс геометрии — науки, в кото­рой кто-то не видит смысла, а иные находят свое призвание. При этом мы изучаем Евклидову геометрию, зародившуюся бо­лее двух тысяч лет назад, но и сейчас остающуюся актуальной. Но почти все слышали и о других, так называемых неевкли­довых геометриях, в частности — о геометрии Лобачевского. И самое странное, что знакомство с этой наукой заканчивалось на утверждении, что она допускает возможность пересечения параллельных прямых. Этот факт удивляет, даже поражает, но, как и все непонятное, воспринимается на веру.

А ведь на самом деле геометрия Лобачевского не так уж силь­но отличается от привычной нам геометрии и параллельные прямые в ней не пересекаются — это досужий миф, родившийся при странных обстоятельствах. Но, для того чтобы это понять, необходимо хотя бы вкратце разобрать историю появления гео­метрии как науки.

В школах изучается геометрия, основы которой были зало­жены древнегреческими математиками. А примерно в 300 году до н. э. свет увидел труд, ставший основой всей современной геометрии, — «Начала» Евклида.

В «Началах» собраны все геометрические сведения, получен­ные трудами десятков математиков античности, живших до Ев­клида. Этот труд, состоящий из тридцати больших томов, на два тысячелетия стал единственным учебником, по которому можно было изучить геометрию. И «Начала» прекрасно описывают про­странство, в котором мы живем, благодаря чему эту геометрию (как и пространство) назвали Евклидовой.

Однако с конца XVIII века начались попытки создания гео­метрии, отличной от геометрии, описанной в «Началах». При­чиной тому стали противоречия, возникающие в Евклидовой геометрии, в частности знаменитая проблема пятого постулата. Следствием этого постулата является понятие параллельных прямых, не пересекающихся на всем их протяжении. Само по себе это утверждение не представляет собой чего-то необыч­ного или странного, но в нем есть один изъян — доказать его с помощью математического аппарата просто-напросто невоз­можно! И именно это обстоятельство толкнуло ученых на соз­дание неевклидовой геометрии, в которой данный недостаток был бы устранен.

Над указанной проблемой трудилось несколько ученых, в том числе и знаменитый Карл Гаусс, но «первопроходцем» в этой области стал русский математик Николай Лобачевский. Первая его работа, заложившая основы геометрии, отличной от Евклидовой, появилась в 1829 году и с тех пор не претерпела осо­бых изменений. Вначале геометрия Лобачевского считалась не­пригодной к практическому применению, так как пространство, в котором мы живем, не соответствует пространству, описы­ваемому этой геометрией. Однако законы, выведенные Ло­бачевским, вскоре нашли практическое применение — стало возможным решение ряда практических задач, практически не решаемых с помощью традиционных средств.

Главное отличие геометрии Лобачевского от геометрии Ев­клида — в том же пятом постулате. Именно из-за этой аксиомы многие люди ошибочно считают, что неевклидова геометрия допускает пересечение параллельных прямых. Однако это глу­бочайшее заблуждение, родившееся из-за неверной трактовки постулата и некоторых упущенных из внимания вещей.

Пятый постулат геометрии Лобачевского утверждает, что если на плоскости лежат прямая и точка, то через эту точку мож­но провести хотя бы две прямые, не пересекающиеся с первой прямой. А в геометрии Евклида через точку можно провести только одну-единственную прямую. Таким образом, неевкли­дова геометрия допускает, что на одной плоскости может на­ходиться сразу несколько прямых линий, не пересекающихся друг с другом.

А утверждение о возможности пересечения параллель­ных прямых в геометрии Лобачевского возникло из-за про­стого незнания аксиом этой геометрии. Ведь при ближайшем рассмотрении оказывается, что в неевклидовой геометрии не только не говорится о пересечении параллельных прямых, но и не говорится о параллельных прямых вообще — разговор здесь идет именно о непересекающихся прямых, находящихся на одной плоскости.

Чтобы понять это, необходимо сделать одно очень важное уточнение: геометрия Лобачевского описывает не плоское пространство, как это делает геометрия Евклида, а оперирует понятиями гиперболического пространства. В геометрии Ло­бачевского пространство не плоско, оно имеет некоторую от­рицательную кривизну. Представить это достаточно сложно, но хорошей моделью такого пространства являются геометриче­ские тела, похожие на воронку и седло. И все сказанное выше относится именно к поверхностям этих фигур.

Так что необходимо избавиться от превратных понятий о геометрии Лобачевского и понять, что она может применяться только по отношению к миру с искривленным пространством. Однако космология (наука, изучающая Вселенную) в последние годы приходит к выходу, что пространство, в котором мы живем, может обладать отрицательной кривизной, наилучшим образом описываемой именно геометрией Лобачевского.

13 интересных фактов о геометрии

Геометрия — это то, что заставляет нас открывать закономерности, находить длину, ширину, площади, углы и, короче говоря, улучшать наше понимание форм и размеров, а также окружающего нас мира.

1. Происхождение геометрии

История происхождения слова «Геометрия» составляет интересное произведение. Оно происходит от греческого слова «Гео», означающего «Земля», и «Метрия», означающего «Мера».По сути, это измерение Земли.
Источник: Википедия, Изображение: Ancientmaths.com

2. Отец геометрии

Греческий математик Евклид сделал несколько удивительных работ по геометрии, включая влиятельные «Элементы», которые были частью учебников для преподавания математики примерно до начала 20 века. Евклид жил примерно в 300 г. до н.э. и благодаря своему вкладу известен как «Отец геометрии».
Источник: wikipedia, Изображение: wikipedia

3.История геометрии

Использование принципов геометрии восходит к 3000 г. до н.э., когда древние египтяне использовали различные геометрические уравнения для вычисления площади кругов среди других формул.
Источник: wikipedia, Изображение: history.com

4. Теорема Пифагора старая

Единственная теорема, которую мы помним из всей сложной геометрии, — это теорема Пифагора, относящаяся к трем сторонам прямоугольного треугольника: a² + b² = c².Вы будете удивлены, узнав, что эта теорема была сформулирована греческим философом и математиком, жившим примерно в 500 году до нашей эры.
Источник: wikipedia

5. Вклад других математиков в геометрию

Другой известный математик Архимед Сиракузский из 250 г. до н.э. сыграл важную роль в разработке геометрии. Он работал над определением объема предметов неправильной формы.
Источник: mathsisfun.com

6.Греки использовали геометрию при создании здания

Греки настолько увлекались использованием геометрии, что создавали произведения искусства и сдавали в аренду здания из расчета примерно 1,618 золотого пайка. Теперь у вас есть еще один повод полюбить эту тему!
Источник: geometrymaths.weebly.com, Изображение: architecture.eu

7. Мощные инструменты геометрии

Двумя самыми мощными инструментами геометрии, которые помогли в продвижении предмета, которые помогли в построении различных длин, углов и геометрических форм, были Компас и Прямой край.
Источник: oureverydaylife.com, Изображение: flickr

8. Вавилоняне и Пи

Считается, что вавилоняне в древнюю эпоху изобрели размер круга, который был примерно в 3 раза больше диаметра. Интересно, что это довольно близко к сегодняшнему измерению числа Пи (около 3,14).
Источник: wikipedia, Изображение: mathsisfun.com

9. Ветви геометрии

Бьюсь об заклад, когда мы берем классы по геометрии, мы вряд ли думаем, что у них так много ответвлений, из которых можно учиться.Очевидно, этот предмет очень разнообразен и включает множество ветвей, таких как евклидова геометрия, аналитическая, проективная, дифференциальная, топология, неевклидова.
Источник: wikipedia

10. Очаровательная формула Эйклера

Если мы возьмем любое трехмерное твердое тело с плоскими гранями, известное как многогранник, например куб, пирамида или футбольный мяч, затем добавим количество граней к количеству вершин и затем вычтем число. ребер всегда дают нам ответ 2.Например. Куб, имеющий 6 граней, 8 вершин и 12 ребер, будет равен 6 + 8-12 = 2.
Источник: wikipedia

11. Для компьютеров и калькуляторов необходима геометрия

Современная геометрия прошла долгий путь на этапах своего развития и используется во многих областях, например, в вычислительной мощности современных компьютеров. Знание этого предмета важно для компьютерной графики или калькулятора для решения структурных задач.
Источник: mathsisfun.com, Изображение: digital.artnetwork.com

12. Ранняя фаза эпохи геометрии

Начало геометрии было открыто людьми в древней долине Инда и древней Вавилонии с 3000 г. до н.э. Он был обнаружен для практических целей строительства, астрономии, геодезии и различных ремесел. Египтяне также были частью ранней фазы эпохи геометрии.
Источник: wikipedia, Изображение: Ancientcultures.co.in

13. Введение в трехмерную геометрию

В период Возрождения проективной геометрии художники, такие как Да Винчи и Дюрер, открыли методы для представления трехмерных объектов на 23 поверхностях.Они были усовершенствованы в 19 и 20 веках, а в 20 веке проективная геометрия использовалась для компьютерной графики.
Источник: geometrymaths.weebly.com, Изображение :gressive.regressive.com

Smart Friday с RobotLAB — узнайте эти забавные факты о геометрии!

Ознакомьтесь с этими забавными фактами о геометрии для детей. Узнайте о кругах, квадратах, треугольниках, сферах, кубах и многих других интересных формах!

Исторические факты …

— Слово «геометрия» происходит от греческих слов «гео», что означает земля, и «метрия», что означает мера

.

— Греческий философ и математик Пифагор жил около 500 г. до н.э. и известен своей теоремой Пифагора, касающейся трех сторон прямоугольного треугольника: a² + b² = c²

Фактов о треугольнике…

— Три внутренних угла треугольника всегда складываются в 180 градусов

— Самая длинная сторона прямоугольного треугольника называется гипотенузой, она всегда находится напротив прямого угла.

-Тригонометрия — это изучение взаимосвязи между углами треугольников и их сторонами.

-Треугольники часто используются в строительстве из-за их большой прочности.

Факты о сфере …

— Все точки на поверхности сферы находятся на одинаковом расстоянии от центра.

— Расстояние от центра сферы до ее поверхности называется радиусом.

— Иногда сфере дают северный и южный полюсы (находятся на противоположных сторонах поверхности).

-Сфера может быть разделена на две равные полусферы плоской двумерной поверхностью (плоскостью), проходящей через центр.

Квадратные факты …

-Квадрат — это также прямоугольник с равными сторонами и ромб с прямыми углами.

— Периметр квадрата в 4 раза больше длины одной стороны.

— Диагонали квадрата делят друг друга пополам под углом 90 градусов и перпендикулярны.

-Внутренние углы квадрата складываются в 360 градусов.

Факты о кругах …

— На строгом математическом языке круг обозначает границу формы, в то время как «диск» используется для обозначения всей формы, включая внутреннюю часть.

-Дуга — это часть окружности круга.

— Круг имеет самый короткий периметр из всех форм с одинаковой площадью.

-Все точки на краю круга находятся на одинаковом расстоянии от центра.

-Хорда — это прямая линия, соединяющая две точки на окружности, диаметр — это пример хорды (самой длинной из возможных).

Факты об изогнутых трехмерных фигурах …

-Тор представляет собой трехмерную форму, которая выглядит как бублик, внутренняя камера шины и спасательный круг, используемый для спасения людей в воде.

-Конус — это трехмерный объект с круглым основанием, сужающимся к точке, он похож на конус мороженого.

-Цилиндр — это трехмерный объект с круглым основанием и прямыми параллельными сторонами, который похож на банку из-под кокса.

-Эти трехмерные формы имеют кривые, которые вы не найдете на многогранниках

.

Хотите узнать больше удивительных фактов?

Посмотрите другие статьи о Smart Friday! и посетите Engagek12 для замечательных уроков геометрии!

Интересные факты о геометрии для детей

Факты о треугольниках для детей Наслаждайтесь изучением треугольников с нашей подборкой фактов для детей. Узнайте, чем отличаются равносторонние, разносторонние и равнобедренные треугольники, а также многое другое.		Circle Facts for Kids Наслаждайтесь чтением нашей серии интересных фактов для детей. Узнайте о радиусе, диаметре, окружности и многом другом.
Квадратные факты для детей Квадраты — это нечто большее, чем просто четыре стороны равной длины. Узнайте, что делает квадраты особенными, с нашими фактами и информацией для детей.		Четырехсторонние факты Что такое четырехугольник? Узнайте из нашего ряда интересных фактов и мелочей. Узнайте о прямоугольниках, параллелограммах, трапециях и многом другом.
Факты о сфере Сферы — отличная форма для подпрыгивания и занятий спортом, но что еще делает их особенными? Наслаждайтесь нашими интересными фактами и информацией о сферах.		Факты о кубах Ознакомьтесь с нашим ассортиментом интересных фактов и информации о кубах. Прочтите и узнайте, каков объем куба, сколько у него ребер и другие интересные факты.
2D-многоугольники Узнайте о ряде распространенных многоугольников, таких как пятиугольники, шестиугольники и восьмиугольники. Сравните, как они выглядят, и получайте удовольствие, улучшая свои геометрические навыки.		3D-формы многогранников Многогранники включают в себя множество впечатляющих трехмерных форм. Узнайте больше о пирамидах, додекаэдрах, параллелепипедах и других многогранниках.
Изогнутые 3D-формы Изогнутые 3D-формы — одни из самых интересных. Получайте удовольствие, узнавая о сферах, цилиндрах, конусах и торе, форма которых очень похожа на пончик!		Краткая история геометрии Ознакомьтесь с краткой историей геометрии и узнайте, с чего все началось. Как давно люди использовали геометрию? Откуда это слово? Читайте и узнайте!

История геометрии — интересные факты и информация

Слово «геометрия» происходит от греческих слов «гео», что означает земля, и «метрия», что означает мера.

Наряду с арифметикой, геометрия была одной из двух областей досовременной математики.

Древние египтяне использовали принципы геометрии еще в 3000 году до нашей эры, используя уравнения для аппроксимации площади кругов среди других формул.

вавилоняне измерили длину окружности круга примерно в 3 раза больше диаметра, что довольно близко к сегодняшнему измерению, в котором используется значение Пи (около 3.14).

Греческий математик Евклид, живший около 300 г. до н.э., часто упоминается как «отец геометрии» за его удивительные работы по геометрии, которые включали в себя влиятельные «Элементы», которые оставались основным учебником для преподавания математики примерно до начала 20-го века. век.

Греки построили эстетически привлекательные здания и произведения искусства на основе золотого сечения примерно 1.618.

Греческий философ и математик Пифагор жил около 500 г. до н.э. и известен своей теоремой Пифагора, касающейся трех сторон прямоугольного треугольника: a² + b² = c²

Архимед Сиракузский жил около 250 г. до н.э. и сыграл большую роль в истории геометрии, включая метод определения объема объектов неправильной формы.

Циркуль и линейка были мощными инструментами в развитии геометрии, позволяя создавать различные длины, углы и геометрические формы.

Современная геометрия претерпела изменения во многих областях, в том числе в тех, которые используют вычислительную мощность современных компьютеров.

4 забавных факта о геометрии — плюс в домашних репетиторах

Есть много интересных фактов о геометрии, которые вы, вероятно, не знали…

(и что ваш учитель или наставник, возможно, не сказал вам!)

Геометрия включает изучение нескольких различных форм; включая треугольники, круги, квадраты и четырехугольники.Знаете ли вы, что у разностороннего треугольника геометрии нет сторон равной длины и равных углов? Или вы знали, что в геометрии слово «четырехугольник» происходит от «quad», что означает «четыре», и «lateral», что означает «сторон»?

Вы студент из Сан-Диего или Ла-Хойи, борющийся с геометрией? Многим ученикам трудно понять все концепции, которые охватывает геометрия, и в конечном итоге они получают помощь от репетитора. Простой способ начать изучать геометрию — это понять, что это изучение различных форм и углов.

Вот 4 забавных факта, которые вы можете просмотреть со своим репетитором по геометрии:

Треугольник: забавные факты о геометрии, которые стоит обсудить с преподавателем в Сан-Диего

:

— Три внутренних угла геометрического треугольника всегда составляют 180 градусов
— Равносторонний треугольник в геометрии имеет три стороны равной длины и три равных угла
— Самая длинная сторона прямоугольного треугольника в геометрии называется гипотенузой и всегда находится напротив прямого угла

Circle забавные факты о геометрии, с которыми вам может помочь ваш репетитор из Сан-Диего:

— Расстояние по внешней стороне круга называется окружностью
— Все точки на краю круга находятся на одинаковом расстоянии от центра
— Окружность имеет самый короткий периметр среди всех форм с одинаковой площадью

Квадратные забавные факты для изучения с репетитором по геометрии:

— Сумма внутренних углов квадрата составляет 360 градусов
— Диагонали квадрата делят друг друга пополам под углом 90 градусов и перпендикулярны
— Квадрат имеет 4 линии симметрии отражения

Четырехугольник забавных фактов по геометрии для изучения с вашим репетитором из Сан-Диего:

— Любой четырехугольник с 4 прямыми углами является прямоугольником
— Четырехугольники с 2 наборами параллельных сторон называются параллелограммами
— Ромб является хорошим примером ромба (четырехугольника с 4 сторонами одинаковой длины)

Чем больше вы изучаете геометрию со своим преподавателем, вы обнаружите, что на самом деле это может быть довольно интересно и весело.Получение репетитора в Сан-Диего или Ла-Хойе действительно может помочь вам узнать больше о геометрии и увидеть, насколько это увлекательно.

www.APlusInHomeTutors.com

Что такое геометрия? — Определение, факты и примеры

Что такое геометрия?

Геометрия — это раздел математики, изучающий размеры, формы, углы расположения и размеры предметов.

Плоские формы, такие как квадраты, круги и треугольники, являются частью плоской геометрии и называются 2D-формами.Эти формы имеют только 2 измерения: длину и ширину.

Примеры двумерных форм в плоской геометрии

Твердые объекты также известны как трехмерные объекты, имеющие третье измерение высоты или глубины.

Примеры трехмерных форм в твердой геометрии

Угол :

Вершина фигуры, в которой встречаются два ребра, образуют угол. Различные геометрические формы имеют разные размеры углов.

Например, :

• Треугольник — это 3-сторонняя форма, размер трех внутренних углов которого составляет 180 °.

• Квадрат, прямоугольник или четырехугольник представляют собой четырехугольники, а их внутренние углы измеряются 360 °.

• Другие многоугольники, такие как пятиугольник, шестиугольник, семиугольник, восьмиугольник, имеют 5, 6, 7, 8 сторон соответственно и разные углы.

Примеры различных многоугольников с их углами и сторонами

Мы изучаем различные аспекты форм, такие как измерение углов, длины сторон, площади, объема и т. Д. В геометрии.

Сходство и соответствие — два важных аспекта геометрии.

Сходство : Сходство — это когда две формы одинаковы, но их размеры могут различаться.

Конгруэнтность : Конгруэнтность — это когда две формы абсолютно одинаковы по форме и размеру.

Координатная плоскость :

• Координатная плоскость — это двумерная поверхность, образованная двумя числовыми линиями, пересекающими друг друга под прямым углом.

• Горизонтальная числовая линия — это ось x, а вертикальная числовая линия — ось y.

• Пересечение двух осей — координата (0,0).

• Используя координатную плоскость, мы наносим точки, линии и т. Д. Соединяя различные точки на координатной плоскости, мы можем создавать формы.

Мы используем формулу и теоремы для решения геометрических задач.

Формула — это математическое уравнение для решения геометрической задачи, а теорема — это утверждение, которое доказывается с использованием ранее известных фактов.

Например, « Теорема Пифагора » доказала, что a2 + b2 = c2 для прямоугольного треугольника, где a и b — стороны прямоугольного треугольника, а c — гипотенуза.

Однако a2 + b2 = c2 — это формула для определения гипотенузы прямоугольного треугольника.

Интересные факты

15 интересных фактов о геометрии

За годы, прошедшие с момента его изобретения, геометрия не так сильно изменилась.Появились его новые разновидности, но сама геометрия в классическом понимании этого слова по-прежнему основана на принципах, открытых сотни и тысячи лет назад. Это одна из фундаментальных наук, на которую опирается человечество, и ее значение просто невозможно переоценить.

Неоценимый вклад в развитие этой науки внесли древнегреческие ученые Евклид и Пифагор. Открытые ими принципы теперь являются его основой. Поэтому фактически классическая геометрия называется евклидовой.
Сам Евклид доказал 465 геометрических теорем.
С помощью геометрических формул можно легко рассчитать объем пирамиды. Интересно, что формула для расчета объема полной пирамиды появилась позже формулы для усеченной.

Одна из самых известных геометрических задач называется «проблемой Наполеона». Она была названа в честь французского императора, который хорошо разбирался в этой науке и является автором ряда научных работ.
Если сделать двенадцать узлов на любой веревке, разделенных одинаковым расстоянием, и растянуть эту веревку в форме треугольника, в результате мы получим прямой угол.Эта простая формула была известна тысячи лет назад в Древнем Египте и использовалась в строительных работах.
Помимо евклидовой геометрии, еще существуют геометрии Римана и Лобачевского.
В геометрии Лобачевского сумма всех углов треугольника всегда меньше 180 градусов, а в геометрии Римана больше.

Древнегреческий ученый Архимед первым создал формулы для вычисления объема шара и конуса, вписанных в цилиндр.
Одна из теорем Пифагора получила название «ослиный мост». Его легко запомнить, но не так просто понять, и тех учеников, которые просто запихнули его в память, Пифагор называл ослами.
Треугольник Рело — это геометрическая фигура, образованная пересечением трех равных окружностей радиуса «А» с центрами в вершинах равностороннего треугольника со стороной «А». Сверло, изготовленное на основе треугольника Рело, позволяет просверливать квадратные отверстия, правда, с погрешностью 2%.

Евклидова геометрия отличается от геометрии Лобачевского тем, что в последней можно провести по крайней мере две непересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, через любую точку, не лежащую на этой прямой.