$\endgroup$

5

$\begingroup$

Одна вещь, которую он мог иметь в виду, это то, что в математике вам часто приходится учиться применять метод, не понимая, что это такое.

Возьмем, к примеру, умножение матриц. Вы могли бы (и многие студенты так и делают) корить себя за то, почему это так «странно» по сравнению, скажем, с умножением действительных чисел. Но оказывается, что да, у него есть эти странные свойства, потому что он идеально подходит для представления линейного преобразования, среди прочего.

В общем, я считаю непродуктивным пытаться понять каждый аспект чего-либо, прежде чем переходить к следующему. Я просто принимаю то, как это работает, верю, что однажды у него будет какое-то приложение, оно будет полезным или иным образом «имеет смысл».

Обратите внимание, что история математики полна разделов математики, которые даже не имели такой полезности, когда они были первоначально созданы и исследованы, но впоследствии оказались чрезвычайно важными. Возьмем, к примеру, булеву алгебру и теорию узлов.

Еще одним важным моментом является то, что математика изучает абстрактные логические системы, в том числе полностью выдуманные. Поэтому может быть довольно бесполезно понимать некоторые более глубокие значения математических понятий, потому что они могут даже не существовать. Конечно, могут быть глубокие связи или обобщения с другими математическими концепциями, и могут быть найдены приложения, но попытка сказать, что приложение является «истинной формой» математической концепции, означает ставить телегу впереди лошади.

$\endgroup$

3

$\begingroup$

В этом обсуждении часто отсутствует слово «шутка». Фон Нейман много шутил. Я предполагаю, что он на 50% шутил, когда говорил это. Но это одна из тех шуток, которые смешны, потому что в них есть доля правды. Всем нам знакомо чувство «привыкания» к идеям, которые когда-то казались нам странными, так что теперь трудно вспомнить, насколько незнакомыми были идеи когда-то.

И в этом психологическом феномене есть что-то обнадеживающее. Даже если сейчас новые идеи кажутся очень странными, через год вы к ним привыкнете, и они покажутся вам намного проще.

$\endgroup$

$\begingroup$

Я интерпретирую цитату совсем по-другому. В общем, мы понимаем новые идеи на основе старых. В математике мы не всегда можем это сделать. Я пришел в математику из прикладной математики, и когда я начал изучать математику за пределами знакомой мне инженерной математики «подключи и пыхни», мне было трудно связать новые концепции, которые я изучал, с тем, что я «понимал». Джек Куайн, один из первых математиков, с которыми я по-настоящему познакомился, говорил мне, что я должен «освободить свой разум». Что я вынес из его совета, так это то, что математика имеет свою собственную логику и свой собственный набор правил, которые не обязательно соответствуют чему-то, что человек действительно хорошо понимает (может быть, в этом смысле это немного похоже на квантовую механику).

$\endgroup$

$\begingroup$

Я просто хотел бы добавить переформулировку, изоморфизм, если хотите, цитаты фон Неймана в форме рассказа/анекдота довольно проницательным парнем по имени Джон Клиз, который, откуда я до сих пор читал его автобиографию, является либо профессиональным вором, продавцом библии, профессиональным футболистом, либо одним из основателей легендарной комедийной труппы, который полностью сошел с ума.

«[…] Я встретил учителя, который произвел на меня самое большое впечатление: мистера Бартлетта. Он стал моим учителем математики и в течение первого семестра учил меня, должен признаться, что почти ничего не понял. Но когда он научил меня тем же самым вещам в следующем семестре, я уловил их мгновенно: они стали самоочевидными. Итак, меня перевели на класс выше, где мистер Бартлет познакомил меня с новыми математическими идеями, все они были непонятны, — до следующего семестра, когда они стали ослепительно очевидными, и я усвоил их без усилий. Повышение, другими словами, сопровождалось недоумением, а следующий срок — полным пониманием. Мистер Бартлетт был очень хорошим учителем.

Клиз, Джон. Итак, в любом случае… (с. 47). Корона/Архетип. Киндл издание.

$\endgroup$

$\begingroup$

Он имел в виду, что когда вы думаете, что понимаете математику, вы на самом деле попадаете под влияние иллюзии . Эта иллюзия понимания вызвана знакомством («привыканием») в сочетании с интеллектуальной ленью. Люди привыкают заниматься математикой и заставлять ее работать, и забывают, что никто не знает почему работает, забывают что принципиально загадочно.

Если вы читаете это и возражаете, позвольте спросить вас,

Что такое число?

$\endgroup$

5

Надеюсь, фон Нейман был одним из очень немногих из нас, кто осознал, что запоминание и знакомство вовсе не то же самое, что понимание. Понимание означает, что мы видим необходимость, происхождение, цель определений, ПРИЧИНУ определения. Априорная цель. А это значит, что когда мы сталкиваемся с «теоремой», раскрывающей свойство математического объекта, он идентифицируется как таковой. Математика НЕ ​​является абстракцией реальности. Это НАМНОГО ЧАСТЬ реальности. Поскольку он создан и используется для моделирования реальности, он не выходит за пределы этого мира. НЕТ другого мира, который не был бы вымышленным. Математика — вещь в себе. Говорить нам, что это «абстрактно» и о «рассуждениях», ужасно дезинформировать. Например, геометрия — это О существовании и количественных свойствах плоских и объемных замкнутых фигур, обычно ограниченных отрезками прямых; но не обязательно. Стороны круглой и другой формы вполне возможны и столь же реальны. Акцент на доказательстве затемняет и изнуряет во всех областях математики. Доказательство уникально для математики, но это НЕ то, чем занимается математика. Интересно задаться вопросом, ПОЧЕМУ доказательство возможно в математике.

$\endgroup$

$\begingroup$

Мои 2 интерпретации:

1. Высокомерному , не думаю, что ты так много знаешь. Вы не знаете, чего вы не знаете. Как сказал Неро, он же Нассим Николас Талеб: «Если вы не чувствуете, что читали недостаточно, значит, вы читали недостаточно».

2. сомнительному , не расстраивайтесь из-за того, что не поняли/не поняли. Вот такая математика.

$\endgroup$

$\begingroup$

«Привыкание к этому» — это заучивание, которое не похоже на заучивание, а скорее на свободное владение языком, или на узнавание своей бабушки, или на знание того, как расставлена ​​ваша мебель.

Знание аксиом и некоторых следствий из этих аксиом — это подобная память, но это не понимание.

Когда вы свободно говорите на языке, вы не понимаете его, а можете использовать. Понимание отличается — вы можете видеть некоторые шаблоны, знать историческое происхождение некоторых слов, могут даже быть аргументы вычислительной эффективности для структуры грамматики, а некоторые могут зависеть от системы человеческого языка. Но это не полное понимание.

Аксиомы на самом деле не могут быть «поняты»; они даны. А Гедель и Тьюринг, кажется, показывают, что мы не можем даже предсказать, что будет правдой, не говоря уже о том, чтобы понять это!

$\endgroup$

$\begingroup$

На самом деле я отвергаю большинство утверждений на этой странице. Имея (астро)физическое образование, чистая математика была для меня благословением. Мне потребовалось всего несколько месяцев, чтобы заявить всем своим друзьям-физикам, что это чистая математика, , а не физика 9.0028 , это что-то «это действительно можно понять!»

Почему? В физике всегда будет оставаться другой вопрос. В каждом вопросе. «Но что есть электрическое поле? Что есть волновая функция?» И т.д. Так что у меня никогда не было опыта понимания чего-то от А до Я. Даже математики меня не учили, потому что история ее построения всегда сокращалась для экономии времени, так что оставались ad hoc и эвристические рассуждения. В чистой математике на самом деле можно полностью свести аргумент к аксиомам, не оставляя между ними недоказанных утверждений. На этом вопрошание прекращается, так как глупо спрашивать «а зачем эти аксиомы?» Это только потому, что это игра, в которую мы играем . Никто не заставляет вас играть в эту игру, вы могли играть в любую игру, которую хотели. Это не означает, и это важно отметить, что способность следовать доказательству вплоть до аксиом включает в себя «полное понимание всего, что влечет за собой ситуация». Всегда есть способы взглянуть на это, чего вы еще не видели. В идеале можно было бы видеть все это одновременно, и если вы требуете этого, чтобы сказать, что понимаете это, мы действительно должны заключить, что никто ничего не понимает.

Что касается цитаты фон Неймана, я не думаю, что он не согласится со мной. Как и некоторые другие ответы, я думаю, что он был, по крайней мере, наполовину шутливым и намекал на общеизвестный факт, что мы медленно привыкаем к определенным понятиям «игровым» (голландский: spelenderwijs ; кажется, нет английского перевода) , переходя от жесткого и непрозрачного к легкому и прозрачному. То же самое происходит и в физике, но разница в том, что в математическом случае можно обосновать каждое утверждение . Теперь, если это не показывает понимание, я не знаю, что делает.

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Я узнал об этой цитате только сейчас и наслаждаюсь беседой 🙂 Мое первое впечатление об этой цитате было то, что мы связываем «понимание» с чем-то, что мы переживаем в физическом мире. Но когда дело доходит до математики, это алгебраическая система, начинающаяся с некоторых аксиом, а затем мы развиваем вокруг нее теорию. Эта теория помогает имитировать явления реального мира. Иногда это отношение к реальному миру неочевидно или скрыто. Мы по-прежнему продолжаем пользоваться этой теорией, потому что она полезна, мы привыкаем к ней и начинаем верить в нее по-настоящему.

$\endgroup$

$\begingroup$

Пуанкаре когда-то писал, что вся математика один плюс один равно два, и много определений. Говоря как физик, я считаю, что самое важное, что нужно понять о математике, это то, полезны ли эти определения для описания реальности (то есть наблюдений). Я не думаю, что математики обеспокоены подобным образом, хотя, безусловно, сам фон Нейман является наиболее ярким контрпримером.

В качестве провокации скажу, что исчисления Ньютона достаточно для моих нужд, и я никогда не понимал \дельта—\эпсилон-доказательств. Кажется, что в физике нет места для «бесконечности». С другой стороны, нестандартный анализ оказался для меня весьма полезным.

$\endgroup$

1

запрос ссылки — Интересные математические факты, которые визуально привлекательны

Всякий раз, когда я слышу «красивая математика», я сразу же думаю о фракталах. Моим личным фаворитом уже некоторое время является множество Мандельброта. 92) + 2xyi$, затем возведите результат в квадрат и так до бесконечности, произойдет одно из трех. Если величина этого комплексного числа (расстояние по прямой от начала координат) меньше единицы, значение будет асимптотически стремиться к нулю. Если величина больше единицы, она стремится к бесконечности. Если величина точно равна единице, значение либо не изменится, либо оно будет перемещаться в различные другие точки, имеющие величину 1. Это само по себе может быть использовано для рисования некоторых визуально интересных графиков. Множество всех точек, для которых функция не расходится на бесконечность, называется S-множеством, а его форма — единичным кругом.

Множество Мандельброта добавляет к функции простой вариант; вместо простого итеративного возведения в квадрат значение возводится в квадрат, а затем добавляется исходное значение. Множество всех точек, для которых эта функция не расходится, называется М-множеством. Звучит просто, и это так, но форма, которую мы получаем, скажем так, более сложна:

Форма М-множества на самом деле имеет бесконечную детализацию с учетом действительных коэффициентов комплексных чисел. Приведенное выше изображение (и большинство других изображений множества Мандельброта) окрашены с использованием количества итераций возведения в квадрат и сложения, необходимых для определения отклонения функции от этой точки (если величина значения когда-либо превышает 2, оно определенно будет расходиться). ), чтобы выбрать цвет из градиента или другой палитры (выше, от темно-синего до белого).

Приблизьтесь к любой точке на краю набора, и M-set покажет вам истинную красоту:

«Красиво», я слышу, вы говорите, «но чем оно полезно?» Итак:

• Обратите внимание на самоподобие многих изображений; в некоторых вы видите изображение полного набора, воспроизведенное в гораздо меньшем масштабе. Математические причины этого являются предметом изучения алгоритмов сжатия данных.
• Это же самоподобие также используется астрофизиками для объяснения аспектов всей нашей Вселенной, например, почему галактики имеют тенденцию формироваться в похожих, примерно вращательно-симметричных формах.