Теорема косинусов и синусов треугольника. Формулы и примеры

​ ​

Поможем понять и полюбить математику

Начать учиться

215.7K

9 класс — насыщенное новыми знаниями время. Чтобы не запутаться в теории по геометрии, рекомендуем сделать карточки с информацией по каждой теме. В этой статье вы найдете самое важное про теорему косинусов.

Формулировка и доказательство теоремы косинусов

Для начала вспомним теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Формула Теоремы Пифагора:

a²> + b²> = c²>, где a, b — катеты, с — гипотенуза.

Теорема косинусов звучит так: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Формула теоремы косинусов: a2 = b2 + c2 — 2bc cos α

В доказательстве теоремы косинусов используем формулу длины отрезка в координатах. Рассмотрим данную формулу:

BC² = (x₂ — x₁)² + (y₂ — y₁)²

В доказательстве теоремы косинусов BC — это сторона треугольника АВС, которая обозначена буквой а. Введем удобную систему координат и найдем координаты нужных нам точек. У точки В координаты (с; 0).
Координаты точки С — (b cos α; b sin α) при α ∈ (0° ; 180°).

cos²α + sin²

α = 1 — основное тригонометрическое тождество.

BC² = a² = (b cos α — c)² + b²sin²α = b²cos²α + b²sin²α — 2bc cos α + c² = b²(cos²α + sin²α) — 2bc cos α + c²

Что и требовалось доказать.

Совет: чтобы быстрее разобраться в сложной теме, запишитесь на онлайн-курсы по математике для детей и подростков.

С помощью теоремы косинусов можно найти косинус угла треугольника:

 

• Когда b² + c² — a² > 0, угол α будет острым.
• Когда b² + c² — a ² = 0, угол α будет прямым.
• Когда b² + c² — a² < 0, угол α будет тупым.

Запоминаем

Когда угол α прямой, то теорема косинусов превращаеся в теорему Пифагора.

Сформулируем еще одно доказательство теоремы косинусов.

Пусть нам дан треугольник ABC, в котором из вершины C на сторону AB опустили высоту CD. Это значит:

• AD = b × cos α,
• DB = c – b × cos α.

Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:

• h² = b² — (b × cos α)²
• h² = a² — (c – b × cos α)²

Приравниваем правые части уравнений:

• b² — (b × cos α)² = a² — (c — b × cos α)²

либо

• a² = b² + c² — 2bc × cos α

Если один из углов при основании тупой (высота упирается в продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному выше.

Определим стороны b и c:

• b² = a² + c² — 2ac × cos β;
• c² = a² + b² — 2ab × cos γ.

Реши домашку по математике на 5.

Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.

Формулировка теоремы для каждой из сторон треугольника

Теорема косинусов справедлива для всех сторон треугольника, то есть:

a² = b² + c² — 2bc cos α

b² = c² + a² — 2ca cos β

c² = a² + b² — 2ab cos γ

Теорема косинусов может быть использована для любого вида треугольника.

Косинусы углов треугольника

Теорема косинусов позволяет найти как косинус, так и угол треугольника. Найдём косинусы углов:

Аналогично:

Определение угла с помощью косинуса

А теперь обратим внимание на углы.

Как мы уже знаем, косинус угла из промежутка (0°; 180°) определяет угол (в отличие от его синуса).

Пусть нам дана единичная полуокружность. Если нам задан cos α, то нам задана точка на верхней полуокружности и задан угол α. Следовательно, cos α однозначно определяет точку М(cos α; sin α), и однозначно определяется угол ∠AOM.

Рассмотрение пределов изменения cos α и sin α

Рассмотрим пределы изменения синуса и косинуса α. Вспомним, что если α — угол треугольника, то он лежит в пределах от 0° до 180°.

Предел изменения косинуса: -1 < cos α < 1.

Предел изменения синуса: 0 < sin α ≤ 1.

• Если cos α > 0, то α ∈ (0°;90°)
• Если cos α < 0, то α ∈ (90°;180°)
• Если cos α = 0, то α = 90°

Примеры решения задач

При помощи теоремы косинусов можно решать задачки по геометрии. Рассмотрим интересные случаи.

Пример 1. Дан треугольник АВС. Найти длину СМ.

∠C = 90°, АВ = 9, ВС = 3, AM/MB = 1/2, где М — точка на гипотенузе АВ.

Как решаем:

 

1. Так как АМ + МВ = 9, а AM/MB = 1/2, то АМ = 3, МВ = 6.
   Из треугольника АВС найдем cos B:



2. Из треугольника СМВ по теореме косинусов найдём СМ:
   

Ответ: СМ = .

Пример 2. Дан треугольник АВС, в котором a2  + b2 < c2. Доказать, что ∠C — тупой угол.

Как доказываем:

1. Для доказательства нужно вспомнить теорему косинусов для угла ∠C: 
   


2. Так как a²  + b² < c², то cos C < 0, следовательно, ∠C — тупой.

Что и требовалось доказать.

Эта задача нам показала, что с помощью теоремы косинусов можно определить тупой угол или острый.

• Если c² = a² + b², то ∠C = 90°.

• Если c² < a² + b², то ∠C — острый.

Больше объяснений по этой и другим темам вы найдете в справочнике по математике — с формулами, чертежами и примерами решения задач.

 

Шпаргалки для родителей по математике

Все формулы по математике под рукой

Лидия Казанцева

Автор Skysmart

К предыдущей статье

Теоремы, которые точно пригодятся на ЕГЭ

К следующей статье

145.3K

Векторное произведение векторов

Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику

На вводном уроке с методистом

1. Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению

2. Расскажем, как проходят занятия

3. Подберём курс

Как добраться до Шереметьево

Телефон горячей линии
8-800-700-33-77 (для звонков из регионов России и с мобильных телефонов).
+7-495-663-84-10 (для звонков из Москвы).
Звонок бесплатный из всех регионов РФ.

Телефон горячей линии
8-800-700-33-77 (для звонков из регионов России и с мобильных телефонов).
8-495-663-84-10 (для звонков из Москвы).
Звонок бесплатный из всех регионов РФ.

Для продолжения необходимо авторизоваться

• РУС
• ENG

С 17 по 19 декабря изменено расписание на направлении Шереметьево. Часть рейсов отменены. Уточнить информацию можно на сайте на странице Расписание.

В аэропорт Шереметьево из Москвы:

• Аэроэкспресс с Белорусского вокзала
• Аэроэкспресс с Савеловского вокзала
• Аэроэкспресс от станции МЦК «Окружная»
• Аэроэкспресс от станций МЦД
• Экспресс-автобус от станции метро «Ховрино»

 

Купить билет

Из аэропорта Шереметьево в Москву:

• Аэроэкспресс из аэропорта Шереметьево
• Экспресс-автобус из аэропорта Шереметьево в Москву

 

Купить билет

Проезд между терминалами аэропорта Шереметьево:

• Аэроэкспресс между терминалами B, C и D, E, F

 

Купить билет

Электропоезда Аэроэкспресс прибывают и отправляются c платформ Северного терминального комплекса (терминалы B, C) и Южного терминального комплекса (терминалы D, E, F) аэропорта Шереметьево.

C Белорусского вокзала в аэропорт Шереметьево

Добраться с Белорусского вокзала Москвы до аэропорта Шереметьево можно на поезде Аэроэкспресс. Время в пути составит около 60 минут. Поезда отправляются из терминала Аэроэкспресс в здании Белорусского вокзала. Попасть в терминал можно через 2-й и 4-й подъезды вокзала.

При выходе со станции метро «Белорусская» Кольцевой линии метро необходимо повернуть налево и проследовать до 2-ого подъезда Белорусского вокзала. Далее, пройдя пункт досмотра, повернуть направо и проследовать в терминал Аэроэкспресс по указателям.

При выходе со станции метро «Белорусская» Замоскворецкой линии метро необходимо повернуть направо, затем зайти за угол здания и проследовать до 4-го подъезда Белорусского вокзала. Далее проследовать в терминал Аэроэкспресс по указателям.

Поезда в аэропорт Шереметьево с Белорусского вокзала следуют с остановками: Савеловский вокзал, платформа Окружная МЦД-1.

Пожалуйста, внимательно ознакомьтесь с расписанием перед поездкой.

Купить билет

С Савеловского вокзала в аэропорт Шереметьево

Добраться с Савеловского вокзала Москвы до аэропорта Шереметьево можно на поезде Аэроэкспресс. Поезда Аэроэкспресс до аэропорта Шереметьево отправляются с 9-го пути Савеловского вокзала. Время в пути – около 45 минут.

При выходе со станции метро «Савеловская» Серпуховско-Тимирязевской или Большой кольцевой линий необходимо пройти к 9-му пути через здание Савеловского вокзала или через турникеты справа от вокзала.

Поезда в Шереметьево с Савеловского вокзала следуют с остановкой на платформе Окружная МЦД-1.

Купить билет

Со станции МЦК «Окружная» в аэропорт Шереметьево

Поезда Аэроэкспресс в аэропорт Шереметьево отправляются с железнодорожной станции Окружная МЦД-1. Время в пути – около 35 минут.

При выходе из поезда на станции МЦК «Окружная» необходимо проследовать согласно указателям в вестибюле к выходу. Далее перейти по пешеходному переходу к зданию железнодорожной станции.

Купить билет

В аэропорт Шереметьево со станций МЦД

На поездах Аэроэкспресс в аэропорт Шереметьево можно добраться также со следующих станций МЦД-1:

Пожалуйста, внимательно ознакомьтесь с расписанием перед поездкой.

Купить билет

В аэропорт Шереметьево на автобусе

Экспресс-автобусы в аэропорт Шереметьево отправляются от станции метро «Ховрино» каждые 15-20 минут. Номера маршрутов автобусов: 1195 (до терминалов B,C) и 1195D (то терминала D).

Остановка экспресс-автобусов из Москвы в аэропорт Шереметьево (терминалы B, C, D)

 

Экспресс-автобусы отправляются от выхода №2 станции метро Ховрино (автовокзал «Северные ворота»). До аэропорта Шереметьево автобусы следуют по платной магистрали без остановок. Время в пути – около 20 минут.

Купить билет

Из аэропорта Шереметьево в Москву до Белорусского и Савеловского вокзалов, станций метро, МЦД и МЦК

Из аэропорта Шереметьево в Москву можно добраться поездом Аэроэкспресс. Время в пути – от 35 минут. Электропоезда отправляются от Северного терминального комплекса (терминалы B, C аэропорта Шереметьево) и Южного терминального комплекса (терминалы D, E, F аэропорта Шереметьево). Пройти к поездам Аэроэкспресс можно по пешеходным галереям, следуя указателям.

Остановки на пути следования поезда Аэроэкспресс:

• Северный терминальный комплекс (терминалы B, C аэропорта Шереметьево)
• Южный терминальный комплекс (терминалы D, E, F аэропорта Шереметьево)
• Окружная (переход на станцию метро «Окружная», платформу МЦК «Окружная»)
• Савеловский вокзал (переход на станцию метро «Савеловская»)
• Белорусский вокзал (переход на станцию метро «Белорусская»)
• Беговая (переход на станцию метро «Беговая»)
• Тестовская (переход на станции метро «Выставочная», «Деловой центр», «Международная», «Шелепиха», платформы МЦК «Деловой центр», «Шелепиха»)
• Фили (переход на станцию метро «Фили»)
• Славянский бульвар (переход на станцию метро «Славянский бульвар»)
• Кунцевская (переход на станцию метро «Кунцевская»)
• Рабочий Посёлок
• Сетунь
• Немчиновка
• Сколково
• Баковка
• Одинцово.

На всех станциях города возможна пересадка на поезда МЦД-1.

Купить билет

Из аэропорта Шереметьево в Москву на автобусе

Из аэропорта Шереметьево в Москву можно добраться на общественном транспорте. Экспресс-автобусы отходят от терминалов B, C (маршрут 1195) и терминала D (маршрут 1195D) каждые 15-20 минут и прибывают к станции метро Ховрино (автовокзал «Северные ворота»). Автобусы следуют по платной магистрали без остановок. Время в пути – около 20 минут.

Остановки автобуса в Москву от терминалов B и C аэропорта Шереметьево

От/до терминалов B, C до/от терминалов D, E, F аэропорта Шереметьево

Добраться от/до терминалов B и C Шереметьево до/от терминалов D, E и F аэропорта можно на поезде Аэроэкспресс. Время в пути между Южным терминальным комплексом (терминалы D, E, F) и Северным терминальным комплексом (терминалы B, C) составляет 10 минут.

Пожалуйста, внимательно ознакомьтесь с расписанием перед поездкой.

Купить билет

Как упростить булеву функцию $A’B’C + A’BC’ + ABC + AB’C’$?

спросил 8 лет, 3 месяца назад

Изменено 2 месяца назад

Просмотрено 13 тысяч раз

$\begingroup$

Итак, вопрос, который у меня есть, заключается в реализации схемы с вентилями $XOR$.

Итак, я на 3/4 справился с проблемой, когда у меня возникают проблемы с упрощением логических выражений ниже:

$$A’B’C + A’BC’ + ABC + AB’C’$$

Согласно профессор, это можно упростить до $A \,\,XOR \,\,B\,\, XOR \,\,C$.

Следующий: $$A’B’C’D + A’B’CD’ + A’BC’D’ + A’BCD + ABC’D + ABCD’ + AB’C’D’ + AB’ CD $$

Можно упростить до: $A\,\,XOR \,\,B \,\,XOR\,\,C \,\,XOR\,\,D $. Опять же, я понятия не имею, как упростить это до этого.

Я понятия не имею, как добраться до этого. Я пробовал много МНОГИХ методов, я, должно быть, смотрю на это неправильно. Кто-нибудь может помочь? 9{‘}$ — логическое выражение XNOR

$\endgroup$

$\begingroup$

Это очень просто! Если исключающее или $A\oplus B=\bar AB+A\bar B,~$, то совпадение равно $A\odot B$

$=AB+\bar A\bar B.~$ При этом две операции заведомо противоположны одной

другой; т. е. если A совпадает с B , то они совпадают, и их XOR дает false ;

и наоборот. Другими словами, $A\odot B=\overline{A\oplus B}.~$ Теперь, учитывая, что вы уже имеете

, $~\bar A\Big(B\oplus C\Big)+A\Big (B\oplus C\Big)=\bar A\Big(B\oplus C\Big)+A\cdot\overline{B\oplus C}=A\oplus\Big(B\oplus C\Big)=$

$=A\oplus B\oplus C$.

$\endgroup$

$\begingroup$

Обозначим $\bf{XOR}$ как обычно через $\oplus$. На самом деле это дополнение $\pmod 2$.

Вы можете задать вопрос: что такое дизъюнктивная нормальная форма булевой функции $(A,B,C)\mapsto A \oplus B \oplus C$. Мы можем посмотреть на таблицу значений функции

$$ \начать{массив}{с|с|с|с} A & B & C & A\oplus B\oplus C \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 \\\hline 0 & 0 & 1 & 1 \\\hline 0 & 1 & 0 & 1 \\\hline 0 & 1 & 1 & 0 \\\hline 1 & 0 & 0 & 1 \\\hline 1 & 0 & 1 & 0 \\\hline 1 & 1 & 0 & 0 \\\hline 1 & 1 & 1 & 1 \\\hline \конец{массив} $$

Теперь мы можем построить дизъюнктивную нормальную форму функции $A\oplus B \oplus C$. Сосредоточьтесь на значениях $(A,B,C)$, где функции принимают значение $1$. Для каждого такого значения, скажем, $(0,1,0)$, рассмотрим конъюнкцию $A’B C’$. Теперь возьмем дизъюнктуру ($+$) всех этих конъюнкций. Вы получаете свою формулу. 9{\ эпсилон_я} $ $ где сумма ведется по всем тем $\epsilon$ с нечетным числом $\epsilon_i = \ $ (пустой символ) (то есть при нечетном числе $A_i$ мы рассматривали переменную $A_i$, а не ее дополнение $A_i’$).

$\endgroup$

Упрощение: AB + A’C + BC в булевой алгебре

Задавать вопрос

спросил 6 лет, 5 месяцев назад

Изменено 3 года назад

Просмотрено 162к раз

$\begingroup$

Я пытаюсь понять упрощение логического выражения:

AB + A’C + BC

Я знаю, что это упрощается до

A’C + BC

И я понимаю почему, но я понимаю, почему не могу понять, как выполнить упрощение через выражение, используя тождества булевой алгебры. Мне было интересно, может ли кто-нибудь показать мне шаги, необходимые для этого. Заранее спасибо.

• булева-алгебра

$\endgroup$

2

$\begingroup$

\begin{выравнивание*} &\matrel{\phantom{=}}AB+A’C+BC\\ &=AB+A’C+BC(A+A’) \quad \text{($A+A’=1$, закон дополнительности)}\\ &=AB+A’C+ABC+A’BC\\ &=AB+ABC+A’C+ABC \quad \text{(Ассоциативный закон)}\\ &=AB+A’C \quad \text{(Закон поглощения)} \end{выравнивание*}

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Два выражения не равны. Первое выражение истинно, когда А и В истинны, а С ложно, но второе в этом случае ложно.

$\endgroup$

4

$\begingroup$

\begin{align} F & = АВ + А’С + ВС \\ & = АВ + А’С + ВС(А+А’) \\ & = АВ + А’С + АВС + А’ВС \\ & = АВ + АВС + А’С + А’ВС \\ & = АВ (1 + С) + А’С (1 + В) \\ & = АВ + А’С \end{выравнивание}

$\endgroup$

$\begingroup$

Таким образом, это можно упростить

 LHS = AB+A'C+BC
                 = АВ+А'С+ВС (А+А') [ А+А'=1 ]
                  = АВ+А'С+АВС+А'ВС
                  = АВ+АВС+А'С+А'ВС
                  = АВ (1+С)+А'С (1+В)
                  = АВ+А'С [ 1+С=1 ]
                                        =RHS..
 

$\endgroup$

1

$\begingroup$

$\begin{align*}&= AB+A′C+BC\\ &= АВ+А′С+ВС(А+А′)\\ &= АВ+А’С+АВС+А’ВС\\ &= АВ+АВС+А’С+А’ВС\\ &= АВ(1+С)+А’С(1+В)\\ &= AB+A’C\end{выравнивание*}$

$\endgroup$

$\begingroup$

a.