a ²  + b ²  = (a +b) ²  — 2ab

Кроме того,  + 2ab
где, a, b = произвольные числа.

Пусть a и b — два числа, квадраты a и b равны a ² и b ² . Сумма квадратов a и b равна a ² + b ² . Мы могли бы получить формулу, используя известное алгебраическое тождество (a+b) 92 Формула

Пример 1: Используя формулу суммы квадратов, найдите значение 5 ² + 6 ² ?

Решение:

Чтобы найти: значение 5 ² + 6 ²
Дано: а = 5, б = 6
Используя формулу суммы квадратов,
а ² + б ² = (а + б) ² — 2аб
5 ² + 6 ² = (5 + 6) ² − 2(5)(6)
= 121 — 2(30)
= 121 − 60 
= 61

Ответ: значение 5 ² + 6 ² IS 61.

Пример 2: Убедитесь, что значение x ² + y ² IS (x + y) ²  — 2xy по формуле ² + b ²  .

Решение: Для проверки x ² + y ² = (x + y) ²  — 2xy
Воспользуемся формулой a ² + b ² 
.а = х, б = у
По формуле (a + b) ² разложим исходные члены.
(а + б) ²  = а ² + б ² + 2аб
Подставим значения a и b вместо x и y
(x + y) ²  = x ² + y ² + 2xy
Вычитая 2xy с обеих сторон,
x ² + y ²  = (x + y) ²  — 2xy

Ответ: Следовательно, проверено 92 формула. Подтвердите свои ответы.
Решение: 
10 ² + 20 ² = 100 + 400 = 500
Используя формулу а ² + b ² = (a +b) ²  -2ab, получаем 10 ² + 20 ² = (10 + 20 × 2 ²

)
= 900   — 400
= 500
Таким образом проверено.

Часто задаваемые вопросы о

Что такое расширение

a ² + b ²  формула известна как формула суммы квадратов, она читается как квадрат плюс b квадрат. Его расширение выражается как а ²  + b ²  = (a + b) ²  -2ab.

Что такое a

Формула a ²  + b ² является одним из важных алгебраических тождеств. Он представлен a ² + b ²  и читается как квадрат плюс b квадрат. Формула (a ² + b ² ) выражается как a ²  + b ²  = (a +b) ²  -2ab.

Как упростить числа, используя формулу a

Давайте разберемся в использовании формулы a ² + b ² a ²  + b ² на следующем примере.
Пример: Найти значение 20 ²  + 30 ²  по формуле a ²  + b ²  .
Чтобы найти: 20 ²  + 30 ²
Предположим, что a = 20 и b = 30,
Мы подставим их в формулу суммы квадратов, то есть a ² + b ²  
а ²  + б ²  = (а +б) ²  -2аб
20 ² +30 ²  = (20+30) ²  — 2(20)(30)
= 2500 — 1200 = 1300 92 как власть или нет и в виде ²  + б ² .

Завершение квадрата

» Завершение квадрата » вот где мы…

Для тех из вас, кто торопится, могу сказать, что: d = b 2a

и: e = c − b ² 4a

Но если у вас есть время, позвольте мне показать вам, как » Заполнить квадрат » самостоятельно.

Завершение квадрата

Скажем, у нас есть простое выражение вида x ² + bx. Наличие x дважды в одном и том же выражении может усложнить жизнь. Что мы можем сделать?

Что ж, немного вдохновившись геометрией, мы можем преобразовать его вот так:

Как видите x ² + bx можно переставить почти в квадрат…

… и мы можем завершить квадрат с помощью (b/2) ²

В алгебре это выглядит так:

Итак, сложив (b/2) ² , мы можем завершить квадрат.

Результат (x+b/2) ² имеет x только один раз , что проще в использовании.

Сохранение равновесия

Теперь… мы не можем просто прибавить (b/2) ² без вычитания ! В противном случае меняется все значение.

Итак, давайте посмотрим, как это сделать правильно на примере:

Результат:

x ² + 6x + 7   =   (x+3) ² − 2

И теперь x появляется только один раз, и наша работа выполнена!

Быстрый подход

Вот быстрый способ получить ответ. Вам может понравиться этот метод.

Сначала подумайте о желаемом результате: (x+d) ² + e

После расширения (x+d) ² получаем: x ² + 2dx + d ² + e

Теперь посмотрим, сможем ли мы преобразовать наш пример в эту форму, чтобы обнаружить d и e

Пример: попробуйте вписать x

Теперь мы можем «форсировать» ответ:

• Мы знаем, что
  • мы должны закончить как 2dx, так что д должен быть 3
  • Далее мы видим, что 7 должно стать d ² + e = 9 + e, поэтому e должно быть −2

  И мы получаем тот же результат (x+3) ² − 2, что и выше!

   

  Теперь давайте рассмотрим полезное приложение: решение квадратных уравнений…

  Решение общих квадратных уравнений путем заполнения квадрата

  Мы можем дополнить квадрат до решить Квадратное уравнение (найти, где оно равно нулю).

  Но общее квадратное уравнение может иметь коэффициент а перед х ² :

  топор ² + Ьх + с = 0

  Но с этим легко справиться… просто сначала разделите все уравнение на «а», а затем продолжайте:

  х ² + (б/а)х + с/а = 0

  шагов

  Теперь мы можем решить квадратное уравнение за 5 шагов:

  • Шаг 1 Разделите все члены на a (коэффициент x ² ).
  • Шаг 2 Переместите числовое выражение ( c/a ) в правую часть уравнения.
  • Шаг 3 Заполните квадрат в левой части уравнения и сбалансируйте его, добавив такое же значение в правую часть уравнения.

  Теперь у нас есть что-то похожее на (x + p) ² = q, которое довольно просто решается:

  • Шаг 4 Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.
  • Шаг 5 Вычтите число, оставшееся в левой части уравнения, чтобы найти x .

  Примеры

  Хорошо, несколько примеров помогут!

  Пример 1: Решить x

  ² + 4x + 1 = 0

  Шаг 1 можно пропустить в этом примере, так как коэффициент x равен ² равно 1

  Шаг 2 Перенесите числовой член в правую часть уравнения:

  x ² + 4x = -1

  Шаг 3 Заполните квадрат в левой части уравнения и сбалансируйте это, добавив такое же число в правую часть уравнения.

  (b/2) ² = (4/2) ² = 2 ² = 4 = 3

  Шаг 4 Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения:

  x + 2 = ±√3 = ±1,73 (до 2 знаков после запятой)

  Шаг 5 Вычтите 2 из обеих частей:

  x = ±1,73 – 2 = -3,73 или -0,27

  А вот еще интересная и полезная штука. В конце шага 3 у нас было уравнение: (х + 2) 2 = 3 Это дает нам вершину (точка поворота) х 2 + 4х + 1: (-2, -3)

   

  Шаг 1 правая часть уравнения:

  x ² – 0,8x = 0,4

  Шаг 3 Заполните квадрат в левой части уравнения и сбалансируйте его, добавив такое же число в правую часть уравнения:

  (b/2) ² = (0,8/2) ² = 0,4 ² = 0,16

  x ² — 0,8x + 0,16 = 0,4 + 0,16

  (x — 0,4) ² = 0,56

  Шаг 4 Примите квадратный корень на обеих сторонах. уравнение:

  x – 0,4 = ±√0,56 = ±0,748 (до 3 знаков после запятой)

  Шаг 5 Вычесть (-0,4) с обеих сторон (другими словами, добавить 0,4):

  x = ±0,748 + 0,4 = -0,348 или 1,148

  Почему «Завершить квадрат»?

  Зачем заполнять квадрат, если мы можем просто использовать квадратную формулу, чтобы решить квадратное уравнение?

  Ну, одна причина указана выше, где новая форма не только показывает нам вершину, но и упрощает решение.

  Бывают также случаи, когда форма ax ² + bx + c может быть частью большего вопроса , и перестановка его как a(x+ d ) ² + e упрощает решение, потому что x появляется только один раз.

  Например, «x» может быть функцией (например, cos(z) ), и ее изменение может открыть путь к лучшему решению.

  Также завершение квадрата является первым шагом в выводе квадратичной формулы

  Думайте об этом как о еще одном инструменте в вашем наборе математических инструментов.

   

  364, 1205, 365, 2331, 2332, 3213, 3896, 3211, 3212, 1206

   

  Сноска: значения «d» и «e»

  Как я получил значения d и e из верхней части страницы?

  Начните с
  Разделите уравнение на a
  Положите с на другую сторону
  Добавить (b/2a) 2 на обе стороны
  «Заполните квадрат»
  Теперь верни все обратно. ..
  … на левую сторону
  … к исходному кратному a x 2

  
  

  И вы заметите, что у нас есть:

  а(х+d) ² + е = 0 93-8 9 Оценить квадратный корень из 12 10 Оценить квадратный корень из 20 11 Оценить квадратный корень из 50 94 18 Оценить квадратный корень из 45 19 Оценить квадратный корень из 32 20 Оценить квадратный корень из 18 92

  Как доказать, что 1 = 2?

  Быстро, сколько будет 1 + 1? Очевидно, 2, верно? Не так быстро!

  Что, если бы я сказал вам, что могу доказать, что 1 + 1 на самом деле равно 1. И что, следовательно, 2 равно 1. Вы бы подумали, что я сошел с ума? Больше похоже на полное безумие? Вероятно. Но орехи или нет, это именно то, о чем мы будем говорить сегодня.

  Конечно, здесь будет задействована хитрость, потому что 1 + 1, безусловно, равно 2… слава богу! И, как оказалось, этот трюк связан с очень интересным фактом о числе ноль.

  Как это все работает? И что за большая уловка, которую пытается провернуть подлый номер ноль? Продолжайте читать, чтобы узнать!

  Спонсор: Посетите GoDaddy.com, чтобы получить домен .COM за 2,95 доллара. Применяются некоторые ограничения, подробности см. на веб-сайте.

  Как «доказать», что 2 = 1

  Давайте начнем наше путешествие в причудливый мир внешне правильных, но явно абсурдных математических доказательств, убедив себя, что 1 + 1 = 1. И, следовательно, что 2 = 1. Я знаю это звучит безумно, но если вы будете следовать логике (и еще не знаете хитрости), я думаю, вы обнаружите, что «доказательство» довольно убедительно.

  Вот как это работает:

  • Предположим, что у нас есть две переменные a и b и что: a = b
  • Умножьте обе части на и , чтобы получить: и ² = ab
  • Вычтем b ² с обеих сторон, чтобы получить: a ² – b ² = ab ^{– 9 70 2}
  • Это сложная часть: разложите на множители левую часть (используя FOIL из алгебры), чтобы получить ( a + b )( a – b ), и вычтите b из правой части, чтобы получить б ( а –  б ). Если вы не знаете, как работает FOIL или факторинг, не волнуйтесь — вы можете проверить, что все это работает, перемножив все, чтобы убедиться, что оно совпадает. Конечным результатом является то, что наше уравнение стало таким:  90 108 ( а + б )( а – б ) = б ( а – б )
  • Поскольку ( a –  b ) появляется с обеих сторон, мы можем сократить его, чтобы получить:  a  +  b  =  b
  • Поскольку a = b (это предположение, с которого мы начали), мы можем заменить b на a , чтобы получить: b + b = б
  • Объединение двух членов слева дает нам: 2 b = b
  • Так как b появляется с обеих сторон, мы можем разделить на b , чтобы получить: 2 = 1

  Подождите, что?! Все, что мы там делали, выглядело вполне разумно. Как же нам удалось доказать, что 2 = 1?

  Что такое математические ошибки?

  На самом деле мы не доказали, что 2 = 1. Что, к счастью, означает, что вы можете расслабиться — мы не разрушили все, что вы знаете и любите о математике. Где-то в этом «доказательстве» зарыта ошибка. На самом деле, «ошибка» — не то слово, потому что это была не ошибка в том, как мы выполняли арифметические действия, а гораздо более тонкая махинация, известная как «математическая ошибка».

  Никогда нельзя делить на ноль!

  В чем заключалась ошибка знаменитого фальшивого доказательства, которое мы рассматривали? Как и многие другие математические ошибки, наше доказательство основано на тонком трюке деления на ноль. И я говорю тонко, потому что это доказательство построено таким образом, что вы можете даже не заметить, что происходит деление на ноль. Где это происходит? Потратьте минутку и посмотрите, сможете ли вы это понять…

  Хорошо, понял?

  Это произошло, когда мы разделили обе части на a – b на пятом шаге. Но вы говорите, что это не деление на ноль — это деление на а — б . Это верно, но мы начали с предположения, что a равно b , а это значит, что a – b — это то же самое, что и ноль! И хотя вполне нормально делить обе части уравнения на одно и то же выражение, делать это неправильно, если выражение равно нулю. Потому что, как нас всегда учили, никогда нельзя делить на ноль!

  Почему нельзя делить на ноль?

  Вы можете задаться вопросом: почему именно мы не можем делить на ноль? Нас всех предупреждали о таких вещах с тех пор, как мы были маленькими мальчиками и девочками, но задумывались ли вы когда-нибудь о том, почему деление на ноль — это такой оскорбительный поступок? Есть много способов подумать об этом. Сегодня мы поговорим о двух причинах.

  Первое связано с тем, как деление связано с умножением. Давайте на секунду представим, что деление на ноль — это прекрасно и модно. В этом случае задача наподобие 10/0 будет иметь некоторое значение, которое мы назовем 9. 0758 х . Мы не знаем, что это такое, но просто предположим, что x — это какое-то число. Таким образом, 10/0 = x . Мы также можем рассматривать эту задачу деления как задачу умножения: какое число, x , нужно умножить на 0, чтобы получить 10? Конечно, на этот вопрос нет ответа, поскольку каждое число , умноженное на ноль, равно нулю. Это означает, что операция деления на ноль называется «неопределенной».

  Второй способ осмыслить несуразность деления на ноль и причину, по которой мы не можем этого сделать, — это представить себе деление числа вроде 1 на все меньшие и меньшие числа, которые все ближе и ближе к нулю. Например:

  • 1 / 1 = 1
  • 1/0,1 = 10
  • 1/0,01 = 100
  • 1/0,001 = 1000
  • 1 / 0,0001 = 10 000
  • …
  • 1 / 0,00000000001 = 100 000 000 000

  и так далее до бесконечности. Другими словами, когда мы делим 1 на все более мелкие числа, которые все ближе и ближе к нулю, мы получаем все больший и больший результат. В пределе, когда знаменатель этой дроби фактически становится нулем, результат был бы бесконечно большим.

  Это еще одна очень веская причина, по которой мы не можем делить на ноль. И почему 1 + 1 действительно равно 2… что бы ни говорило наше дурацкое «доказательство».

  Подведение итогов

  Хорошо, это все математические расчеты, на которые у нас есть время.

  Обязательно ознакомьтесь с моей книгой  «Краткое и грязное руководство по алгебре для чуваков-математиков» . И не забудьте стать поклонником Math Dude на Facebook , где вы найдете много отличных математических публикаций в течение недели. Если вы есть в Твиттере, подпишитесь на меня и там.

  До свидания, это Джейсон Маршалл с  Быстрые и грязные советы математика для упрощения математики .  Спасибо за чтение, любители математики!

  Изображения дополнений Apple и лампочки бесконечности от Shutterstock.

  Графические уравнения и системы уравнений с помощью программы «Пошаговое решение математических задач»

  ВВЕДЕНИЕ В КВАДРАТИКА

  Цели

  В этом разделе вы будете складывать, вычитать, умножать и строить графики квадратичных уравнений.

  Словарь : Стандартный формат квадратного уравнения : y = ax ² + bx + c ; а, b, с — константы; x — независимая переменная, y — зависимая переменная. Квадратичные числа также называются полиномами второй степени , потому что наивысший показатель степени равен 2. Уравнение пересечения наклона из второй главы y = mx + b называется полиномом первой степени , потому что старший показатель равен единице.

  Зачем изучать квадратику? Графики квадратных уравнений представляют собой параболы (графики U-образной формы, открывающиеся вверх или вниз). Эта особенность квадратичных вычислений делает их хорошими моделями для описания пути объекта в воздухе или описания прибыли компании (примеры которых вы можете увидеть в конечной математике или в микроэкономике).

  Пример 1. Мальчик лежит на Бэк использует выстрел из рогатки, чтобы выстрелить камнем прямо в воздух с начальной скоростью (сила, которую мальчик использует, чтобы выстрелить камнем) 64 фута в секунду. Квадратное уравнение, моделирующее высоту скалы, равно 9.0007

  ч = -16т ² +64т.

  а. Найдите высоту скалы при t = 0,

  В формуле h = -16t ² + 64t замените t на 0,

  h = -16(0) ² +64(0)
  h = 0

  Камень находится в воздухе на ноль футов в ноль секунд. (Это момент прямо перед тем, как он выстрелит камнем в воздух.)

  b. Найдите высоту скалы при t = 1,

  В формуле h = -16t ² + 64t замените t на 1,

  В одну секунду камень находится в воздухе на высоте 48 футов.

  Объяснение : Возводится в квадрат только «1». -16 умножается на 1 ²

  c. Найдите высоту скалы при t = 2,

  В формуле h = -16t ² + 64t замените t на 2,

  Камень находится в воздухе на высоте 64 фута за 2 секунды.

  Объяснение : Порядок операций требует применения показателей степени перед умножением.

  д. Найдите высоту камня при t = 3,

  В формуле h = -16t ² + 64t замените t на 3,

  Камень находится в воздухе на высоте 48 футов за 3 секунды.

  эл. Найдите высоту скалы при t = 4.

  В формуле h = -16t ² +64t замените t на 4.

  Камень находится в воздухе на ноль футов через 4 секунды; то есть камень ударился о землю.

  ф. Нанесите на график точки, полученные в частях от a до e.

  Высота скалы зависит от времени, поэтому h — зависимая переменная, t — независимая переменная. Точки имеют вид (t, h).

  Согласно графику, камень достигает наибольшей высоты за 2 секунды. Максимальная высота составляет 64 фута. Максимальная или минимальная точка квадратного называется вершиной. Вы узнаете, как найти вершину, в Разделе 4.3, Квадратичные приложения и графы.

  Согласно графику, камень находится на земле через ноль секунд (непосредственно перед тем, как мальчик выстрелит в него) и через 4 секунды (когда камень приземлится). Эти точки являются временными перехватами. Вы узнаете, как их найти, в следующем Разделе 4.2, «Применения квадратичной формулы».

  Сложение и вычитание квадратичных чисел:

  Словарь : Чтобы складывать или вычитать квадратичные числа, объединяйте одинаковые термины. Подобные термины , первоначально представленные в разделе 1.3 «Упрощение алгебраических выражений», имеют ту же переменную и тот же показатель степени. Например, 2x ² и 5x ² похожи, а 3x ² и 7x — нет.

  Коэффициент , первоначально представленный в Разделе 1.3 «Упрощение алгебраических выражений», представляет собой число, умножающее переменную. Например, коэффициент при 2x равен 2, а коэффициент при -x равен 9.0003 2 равно -1.

  Правило: Чтобы объединить одинаковые термины, добавьте их коэффициенты

  Напомним распределительное свойство : Определение a(b + c) = ab + ac.

  
  Не удалось объединить непохожие термины внутри круглых скобок, поэтому мы использовали распределительное свойство. После этого мы умножили 6x на 3, а затем -5 на 3.
  
  Использовали свойство распределения и комбинировали одинаковые термины.

  Пример 5. Уравнение прибыли: Прибыль = Доход — Затраты

  Если уравнение доходов для компании:

  , а уравнение затрат:

  , найдите уравнение прибыли для компании.

  
  Подставил уравнения выручки и затрат в формулу прибыли. Необходимо использовать скобки.
  
  Использовал свойство распределения и умножил уравнение доходов на 1, а уравнение затрат на -1.
  
  Комбинированные термины.

  Подставил уравнения выручки и затрат в формулу прибыли. Необходимо использовать скобки. Используется распределительное свойство. Умножил уравнение дохода на 1 и уравнение затрат на -1. Комбинированные подобные термины.

  Умножение двух двучленов.

  Словарь : Бином состоит из двух членов (так же, как велосипед имеет два колеса).

  Правило: Чтобы умножить два двучлена, умножьте каждый член первого на каждый член второго.

  Пример 7. Умножить (х + 2)(5х + 3).

  
  Умножить x на 5x и 3 и умножить 2 на 5x и 3.
  
  Объединить подобные термины.

  ФОЛЬГА — простая мнемоника, помогающая запомнить, как умножать два двучлена.

  Пример 8. Умножить (8x + 6)(x + 7).

  Учебный совет: Напишите карточку с объяснением мнемоники ФОЛЬГА. Чаще просматривайте карту.

  Резюме

  Квадратичные уравнения являются важными уравнениями в физике и микроэкономике. Техника сложения и вычитания квадратичных чисел та же самая, которую мы практиковали весь семестр; то есть добавить или вычесть подобные термины. Чтобы умножить, используйте распределительное свойство или FOIL. Вершина квадратичного уравнения будет объяснена более подробно в разделе «Квадратичные графики и приложения». Вершина — это максимальная или минимальная точка на графике квадратичного уравнения.

  ПРИМЕНЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМУЛЫ

  Цель

  Этот раздел покажет вам, как решать квадратные уравнения.

  Словарь : Квадратное уравнение равно ax ² + bx + c = 0 . a, b и c — константы, а x — переменная.

  Квадратная формула , , используется для решения квадратного уравнения.

  Анализ

  • a, b и c — числа, которые будут подставлены в формулу.
    a — коэффициент квадрата переменной,
    b — коэффициент переменной в первой степени,
    c — константа.
  • Символ ± дает два решения уравнения.
    Одно решение со знаком +, а другое решение со знаком -, .
  • — это символ квадратного корня.
    1. Потому что 4 ² = 16.
    2. Потому что 5.916 ² = 35.
    3. Ваш калькулятор необходим для этого раздела. Убедитесь, что вы можете найти кнопку на вашем калькуляторе.
    4. Вы можете вычислять квадратный корень только из неотрицательных чисел.
    5. Если вы попытаетесь вычислить, ваш калькулятор выдаст сообщение об ошибке.
       Если вы изучите алгебру среднего уровня, вы узнаете о квадратных корнях из отрицательных чисел.

  Учебный совет: Напишите квадратное уравнение и квадратную формулу на карточках, чтобы вы могли обращаться к ним, когда будете делать домашнюю работу.

  Пример 1. Предположим, вы стоите на вершине утеса на высоте 375 футов над дном каньона и подбрасываете в воздух камень с начальной скоростью 82 фута в секунду. Уравнение, которое моделирует высоту скалы над дном каньона:

  h = -16t ² + 82t + 375.

  Найдите время, за которое камень упадет на дно каньона.

  Найдите t при h = 0.
  Решите 0 = -16t ² +82t + 375.
  Определите константы a, b и c.

  Объяснение : Одна сторона квадратного уравнения должна быть равна нулю.

  a = -16, b = 82, c = 375

  Пояснение :
  a — коэффициент при переменной, возведенный в квадрат
  b — коэффициент при переменной в первой степени.
  с — константа.

  Используйте квадратичную формулу

  с a = -16, b = 82 и c = 375. этаж, а время не может быть отрицательным.

  T = 8,041 секунды — это время, за которое камень достигает дна каньона.

  Камень упадет на дно каньона через 8,041 секунды.

  Пример 2. Владелец ранчо имеет 500 ярдов забора, чтобы оградить два смежных загона для свиней, примыкающих к сараю. Если площадь двух загонов должна составлять 20 700 квадратных ярдов, то каковы должны быть размеры загонов?

  L представляет собой длину обоих ручек.

  а. Используя таблицу, найдите уравнение площади ручек.

  б. Упростите уравнение площади.

  в. Найдите W, если A = 20 700.

  Ширина 76,67 или 90 ярдов.

  д. Найдите длину ручек.

  Из таблицы в Части а, L = 500 — 3W . Подставьте W = 76,67 и W = 90 в уравнение для длины, L = 500 — 3w.

  Размеры свинарников площадью 20 700 квадратных ярдов: 76,67 на 270 ярдов и 90 на 230 ярдов.

  Пример 3. В ходе эксперимента необходимо контролировать температуру кислорода. Используя данные эксперимента, следующую квадратичную модель можно смоделировать для температуры кислорода:

  T = 0,26 м ² -4,1 м + 7,9

  , где Т измеряется в градусах Цельсия, а м представляет минуты, которые провел эксперимент. бегать. Определите, когда температура кислорода равна 0 градусов Цельсия.

  Задача требует найти m при T = 0.

  Температура кислорода будет равна 0 градусов Цельсия через 2,246 минуты и 13,52 минуты.

  Совет по изучению: Ключевая идея, продемонстрированная в примере 3, заключается в том, как обращаться с отрицательным значением b в квадратном уравнении.

  Резюме

  В этом разделе показано, как решать новый тип уравнения, квадратное. Они имеют важные приложения во многих областях, таких как бизнес, физика и инженерия. Учиться разница между квадратным уравнением и квадратной формулой.

  Квадратное уравнение: ax ² + bx + c = 0.

  • Одна часть уравнения должна быть равна нулю.
  • а — коэффициент x .
  • b — коэффициент при x.
  • c — постоянный член.

  Квадратная формула решает квадратное уравнение.

  • Формула дает два решения.
  • Калькулятор используется для поиска ответов.
  • Первым шагом в оценке формулы является упрощение квадратного корня.

  КВАДРАТИЧЕСКИЕ ПРИМЕНЕНИЯ И ГРАФЫ

  Цели

  В этом разделе исследуются дополнительные ключевые точки графа квадратичного уравнения, вершины и точки пересечения. Эти точки будут интерпретироваться в приложениях.

  Пример 1. Лежащий на спине мальчик стреляет из пращи камнем прямо в воздух с начальной скоростью (сила, которую мальчик использует, чтобы выстрелить в камень) 64 фута в секунду. Квадратное уравнение, моделирующее высоту скалы, равно

  9.0002 ч = -16т ² + 64т.

  (Этот пример взят из Раздела 4.1 «Введение в квадратику», стр. 317.)

  На странице 318 мы сгенерировали следующие значения:

  Мы использовали точки для построения графика ниже. Вершина и пересечения также помечены на графике.

  Объяснение : Точка (0, 0) является точкой пересечения и времени, и высоты.

  Вершина , (2,64) представляет собой максимальную высоту скалы. Скала достигает максимальной высоты 64 фута за 2 секунды.

  Отрезки времени , (0, 0) и (4, 0) представляют, когда камень находится на земле. Камень находится на земле за ноль секунд до выстрела (это перехват высоты ) и через 4 секунды, когда он возвращается на землю.

  Чтобы построить квадрат, указанный уравнением, y = ax ² + bx + c, освойте следующие термины:

  Словарь : Вершина: Вершина — это максимальная или минимальная точка на графике. Чтобы найти вершину:

  а. Найдите координату x:
  б. Найдите координату y: подставьте значение x, полученное в части a, в формулу y = ax ² + bx + c.

  Пересечение по оси X : Установите y = 0 и решите 0 = ax ² + bx + c по формуле квадрата y всегда будет c, константой.

  Учебный совет: Запишите процедуру и определения на трех карточках для удобства.

  Пример 2. Компания D++ делает компьютерные игры. Стоимость создания g игр в месяц составляет C = 0,4g ² — 32g + 625 . Доход от продажи g игр в месяц равен R = -0,6g ² +52g. Единицы измерения g — сотни, а C и R — тысячи долларов.

  а. Найдите уравнение прибыли.

  б. Найдите вершину и объясните, что эта вершина означает с точки зрения создания компьютерных игр.

  Формула для координаты g:

  Из уравнения для прибыли a = -1, b = 84.

  Вершина (42,1139). Если D+++ продаст 4 200 игр, то они получат максимальную прибыль в размере 1 139 000 долларов.

  в. Найдите g и и объясните, что они означают с точки зрения создания компьютерных игр.

  Чтобы найти точку пересечения g, установите P = 0.

  Решите 0 = -g ² + 84g — 625 .

  Используйте квадратичную формулу, a = -1, b = 84, c = -625.

  Отрезки g: (8.251, 0) и (75.75, 0).

  Если они продадут 825 или 7575 игр, они окупятся.

  д. Найдите P и и объясните, что они означают с точки зрения создания компьютерных игр.

  Чтобы найти точку пересечения P, установите g = 0.
  P = -0 ² +84*0-625
  P = -625
  Значение точки P равно (0, -625).
  Начальные затраты компании составляют 625 000 долларов.

  эл. График функции.

  Нанесите точки:
  Вершина. (42, 1139).
  Данные перехватывают. (8,251, 0) и (75,75, 0).
  Перехват P. (0, -625).

  Объяснение : Одним из объяснений наличия двух точек безубыточности является то, насколько эффективно компания производит продукт. Изготовление очень небольшого количества предметов обычно неэффективно. В какой-то момент фабрика становится очень эффективной в производстве продукта, но если фабрика пытается производить слишком много изделий, компания становится неэффективной в производстве своей продукции.

  Помните, что единицы g измеряются сотнями, а единицы P — тысячами.

  Предположим, что D+++ должен получать прибыль в размере 500 000 долларов (P = 500) в месяц. Нарисуйте эту линию на графике, полученном в части б, и найдите, где линия пересекает график квадратичного уравнения. Напишите предложение, объясняющее, что означают ответы.

  Эскиз P = 500 на предыдущем графике.

  P = 500 — горизонтальная линия.

  Если D+++ хочет получить прибыль в размере 500 000 долларов, им нужно сделать и продать 1 672 или 6 728 игр.

  Пояснение : На графике показано, где пересекаются горизонтальная линия P = 500 и уравнение прибыли P = -g ² +84g-625. Алгебра дает точную точку, где они пересекаются.

  г. Используя график и ответы к части c, определите, сколько компьютерных игр необходимо создать и продать, чтобы гарантировать прибыль более 500 000 долларов.

  Компания получит прибыль более 500 000 долларов, если график прибыли окажется выше горизонтальной линии P = 500. Эта задача аналогична примеру 2d на странице 203 в разделе 2.9.«Применения графиков».

  Это происходит между точками g = 16,72 и g = 67,28 или

  16,72

  Компания заработает более 500 000 долларов, когда создаст и продаст от 1 672 до 6 728 компьютерных игр.

  Пример 3. Владелец питомника хочет пристроить к стене три соседних загона для собак одинакового размера. У него 96 метров забора.

  а. Найдите формулу площади.

  Объяснение : Самая трудная часть таблицы — найти значение длины. Если фермер использует 10 метров для ширины загонов, а их ширина 4, то он использовал 4 раза по 10, или 40 метров ограждения. Чтобы узнать, сколько ограждений у него осталось по длине, из 9 вычтите 40.6, общее количество ограждений, доступных фермеру.

  Формула площади загонов для собак:

  b. Найдите вершину и объясните, что она означает в терминах собачьих загонов.

  Формула для координаты W:

  Из уравнения для прибыли, a = -4, b = 96.

  Вершина (12, 576).

  Вершина , (12, 576) представляет максимальную площадь трех загонов для собак. Когда W = 12, максимальная площадь будет 576. (Длина всех трех загонов будет 48 или длина одного загона для собак будет 16.) Будет три загона для собак размером 12 на 16 метров.

  с. Найдите W и и объясните, что они означают в терминах собачьих загонов.

  Чтобы найти точку пересечения W, установите A = 0.

  Решите 0 = -4W ² + 96W.

  Используйте квадратичную формулу, a = -4, b = 96, c = 0.

  Пересечения W равны (0, 0) и (24, 0).

  Отрезки W, (0, 0) и (24, 0) представляют собой ширину собачьих загонов, которые дадут нулевую площадь.

  д. Найдите перехват A и объясните, что это означает применительно к загонам для собак.

  Чтобы найти точку пересечения A, установите W = 0.

  Объяснение : Если ширина прямоугольника равна нулю, то площадь должна быть равна нулю.

  Точка пересечения (0, 0).

  Точка пересечения A (0, 0) — это площадь, когда W = 0.

  e. Нарисуйте уравнение

  Нанесите точки:
  Вершина. (12, 576).
  W перехватывает. (0, 0) и (24, 0).
  Перехват А. (0, 0).

  ф. Предположим, что общая площадь должна быть 400 квадратных метров. Постройте график A = 400 и найдите размеры загонов для собак.

  Эскиз A = 400 на предыдущем графике.

  A = 400 — горизонтальная линия.

  Поскольку ширина W известна, длину L можно найти по формуле A = LW.

  Найдите L, разделив обе части на W.

  Размеры загонов для собак, которые дают площадь 400 квадратных метров, составляют 5,367 на 74,53 и 18,63 на 21,47.

  Пример 4. В ходе эксперимента необходимо контролировать температуру кислорода. Используя данные эксперимента, следующую квадратичную модель можно смоделировать для температуры кислорода:

  T = 0,26 м ² -4,1 м + 7,9

  , где Т измеряется в градусах Цельсия, а м представляет минуты, которые провел эксперимент. бегать. Постройте уравнение, найдя вершину и точки пересечения. Отметьте эти точки на графике и объясните, что означают вершины и точки пересечения с точки зрения модели.

  Назад: Это та же самая модель, которая использовалась в примере 3 на стр. 332. Этот пример работал при нулевой температуре.

  Найдите вершину T = 0,26 м ² — 4,1 м + 7,9 .

  Формула для m-координаты вершины: .

  Вершина (7,885, -8,263).

  Найдите м отрезков от T = 0,26 м ² -4,1 м+ 7,9

  Чтобы найти m отрезков, установите T = 0,

  Решить 0 = 0,26 м ² -4,1 м+ 7,9 .

  Используйте квадратичную формулу, a = 0,26, b = -4,1, c = 7,9.

  М точек пересечения (13,52, 0) и (2,246, 0).

  Найдите точек пересечения T точки T = 0,26 м ² — 4,1 м + 7,9

  Чтобы найти точку пересечения T, установите m = 0,

  (точка пересечения равна 7,

  ).

  Вершина: Минимальная температура будет на 7.885 мин. Минимальная температура составит -8,263 градуса по Цельсию.

  м пересечений: Температура будет равна нулю градусов Цельсия в 2.246 и 13.52 минуты.

  Пересечение T: В начале эксперимента температура составляла 7,9 градусов Цельсия.

  Учебные советы: Квадратичные графики представляют собой U-образные графики. В некоторых случаях они имеют U-образную форму, как в приведенном выше примере, или форму, как в примерах с 1 по 3. Если a в уравнении y = ax ² + bx + c положительно, то график имеет U-образную форму, т. е. есть, открытие. Если a отрицательно, то график имеет форму, т. е. раскрывается вниз. Этот факт должен быть записан на карточке для заметок.

  Резюме

  Графики квадратичных уравнений появляются в таких разных предметах, как микроэкономика и физика. В этом разделе кратко излагаются основные идеи модуля.

  Чтобы нарисовать квадрат, y = ax ² + bx + c , вы должны найти:

  • вершина .
    Формула для координаты x:
    
    Чтобы найти координату y, подставьте свой ответ вместо координаты x в уравнение y = ax ² + bx + c .
  • x перехватывает . Установите y = 0 и решите уравнение 0 = ax ² + bx + c , используя квадратичную формулу
    
  • y перехват .
    Положим в уравнении x = 0, y = ax ² + bx + c и найдем y. Обратите внимание, когда x = 0, y = c.
  • Если a отрицательное , то обычно график выглядит так:
    
  • Если а положительное , то в целом график выглядит так:
    

  ФАКТОРИЗАЦИЯ

  Цели

  Факторинг — это алгебраический метод, используемый для разделения выражения на составные части. Когда составные части перемножаются вместе, результатом является исходное выражение. Иногда это можно использовать для решения квадратных уравнений. Факторинг является важным навыком в MAT 100, Intermediate Algebra.

  Словарь : Алгебраическое выражение факторизуется, если последней операцией при вычислении выражения является умножение.

  Пример 1. Какое выражение представляет собой , разложенное на , х ² — 5х — 24 или (х — 8)(х + 3)?

  Выберите значение x и подставьте его в выражение.

  Пусть x = 3.

  Поскольку последней операцией для (x — 8)(x + 3) было умножение, то (x — 8)(x + 3) факторизуется.

  Пояснение : Менее формально алгебраическое выражение факторизуется, если оно имеет круглые скобки.

  Словарь : Распределительное свойство есть a(b + c) = ab + ac. Левая часть факторизуется, а является общим множителем.

  Вы должны иметь возможность проверить, используя свойство дистрибутива.

  Объяснение : Хотя 8x ³ + 4x равно как 2x(4x ² + 2), так и 4(2x ³ + x), ни одно из них не считается полностью факторизованным, поскольку в обоих случаях общее кратное , 2, в 2х(4х ² +2) и x в 4(2x ³ +x) все еще могут быть факторизованы из терминов в скобках.

  Разложение трехчленов на множители: (Трехчлен состоит из трех членов.) Чтобы разложить трехчлен на множители, вспомните аббревиатуру FOIL.

  Учебный совет: Проверьте свои карточки для заметок на предмет определения ФОЛЬГИ.

  Пример 4. Умножить (x+3)(x+5).

  (x+3)(x+5) учитывается, а x ² + 8x +15 не учитывается. Чтобы разложить трехчлены, вам нужно знать, как были вычислены 8x и 15. 8х получилось от сложения 5х и 3х, а 15 получилось от умножения 5 и 3.

  Пример 5. Коэффициент х ² + 8х +15. (Это из примера 4.)

  Нам нужны два числа, которые при сложении равны 8, а при умножении равны 15. 3 и 5 в сумме дают 8, а при умножении 15.

  Итак, x ² + 8x +15 = (x + 3)(x + 5)

  Пример 6. Фактор x ² -4x- 12.

  Нам нужны два числа, которые при сложении равны -4, а при умножении равны -12. -6 и 2 в сумме дают -4, а при умножении дают -12.

  Так х ² -4х -12 = (х-6)(х + 2).

  Пример 7. Коэффициент x ² — 64 .

  Это не трехчлен, но он может стать им, если добавить 0x.

  x ² -64 = x ² +0x -64

  Нам нужны два числа, которые при сложении равны 0, а при умножении равны -64.

  -8 и 8 прибавляются к 0 и при умножении дают -64.

  Так х ² -64 = (х-8)(х + 8).

  Этот пример называется разложением на множители разности совершенных квадратов, и вы снова увидите его, если возьмете MAT 100, Средняя алгебра.

  Словарь : a ² — b ² — это разность совершенных квадратов .
  Разность полных квадратов имеет специальную формулу факторизации: a ² — b ² = (a — b)(a + b)

  Решение квадратных уравнений методом факторизации:

  Если умножить две величины и результат равен нулю, то вы знаете, что одна из величин должна быть равна нулю. В математической записи

  , если a.b = 0, то a = 0 или b = 0.

  Прежде чем вы подумаете, что разложение на множители для решения квадратного уравнения намного проще, чем использование формулы квадратного уравнения, вы должны знать, что разложение на множители не всегда работает. Попробуйте изменить пример 8 всего на единицу до x ² — 11x + 31 = 0. Вы не можете найти два целых числа, которые при сложении равны -11, а при умножении равны 31. Чтобы разложить x ² — 11x + 31, вы должны использовать квадратичная формула. Вы узнаете, как факторизовать любое квадратное уравнение в Precalculus I, MAT 161.

  Резюме

  В этом разделе представлены два метода факторинга. Первый — это общие факторы, в которых используется распределительное свойство ab + ac = a (b + c). Другой факторизирует трехчлены. Чтобы разложить трехчлены, вам нужно знать, как работает FOIL. Если вы возьмете MAT 100, средний уровень алгебры, вы увидите больше факторов.

  ГЛАВА 4 ОБЗОР

  В этой главе вы познакомились с квадратиками. Двумя основными темами являются квадратичные формулы и графики квадратичных уравнений. Эти темы имеют множество приложений в бизнесе, физике и геометрии. Факторинг является важной темой в MAT 100, Intermediate Algebra.

  Раздел 4.1: Введение в квадратные уравнения

  Раздел 4.2: Применение квадратичных формул

  Определение: ax ² + bx + c = 0 — это квадратное уравнение.

  Определение: квадратичная формула.

  Пример 4. Фермер хочет обнести два соседних курятника против сарая. У него 125 футов забора. Какими должны быть размеры, если он хочет, чтобы общая площадь была 700 квадратных футов.

  а. Заполните таблицу, чтобы найти уравнение площади.

  б. Найдите W, если A = 700.

  Размеры курятника площадью 700 квадратных футов составляют 35 на 20 футов и 6,667 на 105 футов.
  (Чтобы получить длину, разделите 700 на 6,667 и 35)
  Координата x вычисляется по формуле
  Координата y вычисляется путем подстановки координаты x в y = ax ² + бх + в.

• Пересечение x:
  Установите y = 0 и решите 0 = ax ² + bx + c, используя квадратичную формулу.
• Пересечение y:
  Подставьте x = 0 в y = ax ² + bx + c . Обратите внимание, что когда x = 0, y = c.

Пример 5. Уравнение затрат на изготовление коробок для сока: C = 0,6B ² — 24B + 36, а уравнение дохода: R = -0,4B ² + 18B . B в миллионах, а C и R в тысячах долларов.

а. Найдите уравнение прибыли.

б. Нарисуйте график уравнения прибыли и объясните, что означают точки пересечения вершины, B и P с точки зрения задачи.

Вершина (21, 405).

Найдите перехват B. Установите P = 0,

Пересечения B равны (0,875, 0) и (41,13, 0).

Найдите точку пересечения P. Установите B = 0.

Пересечение P равно (0, -36).

г. Предположим, что компании необходимо получить 200 000 долларов прибыли (P = 200). Нарисуйте линию P = 200 и найдите, сколько коробок сока нужно произвести компании, чтобы заработать 200 000 долларов.

Компании необходимо произвести 6,682 или 35,32 миллиона коробок сока, чтобы заработать 200 000 долларов прибыли.

Вершина (21 405) представляет максимальную прибыль. Компания получит максимальную прибыль в размере 405 000 долларов, когда продаст 21 миллион коробок сока.